2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Теория Вероятностей.
Сообщение18.12.2014, 20:42 


16/11/14
47
Здравствуйте! Такая задача:
Случайная величина $\xi_n$ имеет нормальное распределения с параметрами 0 и n. То бишь мат. ожидание 0, а дисперсия n. Вопрос такой: существует ли предел отношения $\frac{\xi_n}{n}, n\to \infty $
Пытался что-то сделать с помощью предельных теорем и теорем о сходимости, но, видимо, всё не то. Центральная предельная теорема, закон больших чисел, но это всё для суммы величин, а не для одной. Со сходимостями тоже как-то не вышло: по вероятности, по распределению, не вижу ничего подходящего. Не пойму вообще, что делать с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Намекните хотя бы, в каком направлении думать, с чего начать? Буду признателен.
UPD: Вероятно все же имеет место быть сходимость по распределению. Функция распределения для нормального распределения равна $0.5(1+erf(\frac{-x^2}{2n}))$, при $n \to \infty$ получается 0.5 для любого $x$. Но по-моему это лишено смысла: для любого конечного $x$ вероятность быть меньше $x$ равна 0.5.
Так же если допустить, что предел существует, то очевидно, что он равен нулю, так как по определению предела, $\frac{\xi_n}{n}$ должна попасть в любую окрестность своего предела, но это значение может быть и больше и меньше нуля, а только ноль содержит в любой своей окрестности числа больше и меньше нуля.
Но всё же все это так и не привело меня к верному решению.
UPD_2: Кажется, я решил. Рассмотрим функцию вероятности для $\eta=\frac{\xi_n}{n}$. $F_{\eta}(x)=P(\frac{\xi_n}{n}<x)=P(\xi_n<nx)=F_{\xi_n}(nx)$
Функция распределения нормального распределения известна, подставим в неё значение nx, получим: $F_{\xi_n}(nx)=0.5(1+erf(\frac{nx}{\sqrt{2n}}))=0.5(1+erf(\infty))=0.5(1+1)=1$
Теперь рассмотрим сходимость по вероятности. Допустим, что предел равен нулю. Тогда получим, что $P(|\xi_n|>\varepsilon)$ должно быть равно 0 при $ n\to\infty$. А это не есть что иное как $1-P(|\xi_n|<\varepsilon)=1-F_{\xi_n}(\varepslon)=1-1=0$. Получаем ноль, как и должно быть, значит $\frac{\xi_n}{n}$ сходится к нулю по распределению.
Но вот верно ли это?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.12.2014, 20:45 
Модератор


20/03/14
8218
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1. Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

2. Уточните формулировку задачи, про какой предел там идет речь.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.12.2014, 08:17 
Модератор


20/03/14
8218
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 08:50 
Аватара пользователя


04/07/13
6
По-моему, здесь все ясно - случайная величина $\eta = \frac{\xi_n}{\sqrt{n}}$ при ваших данных имеет стандартное нормальное распределение, откуда $\frac{\xi_n}{n} = \frac{\eta}{\sqrt{n}} \to 0$ во всех разумных смыслах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3968
tazdraperm в сообщении #948962 писал(а):
UPD_2: Кажется, я решил. Рассмотрим функцию вероятности для $\eta=\frac{\xi_n}{n}$. $F_{\eta}(x)=P(\frac{\xi_n}{n}<x)=P(\xi_n<nx)=F_{\xi_n}(nx)$
Функция распределения нормального распределения известна, подставим в неё значение nx, получим: $F_{\xi_n}(nx)=0.5(1+erf(\frac{nx}{\sqrt{2n}}))=0.5(1+erf(\infty))=0.5(1+1)=1$

А давайте $x=-5$ подставим и проверим?
tazdraperm в сообщении #948962 писал(а):
Теперь рассмотрим сходимость по вероятности. Допустим, что предел равен нулю. Тогда получим, что $P(|\xi_n|>\varepsilon)$ должно быть равно 0 при $ n\to\infty$.


Не должно и не может быть равно нулю ни при каком $n$. Равно - это равно. Предел - это предел. Не различаете?

tazdraperm в сообщении #948962 писал(а):
А это не есть что иное как $1-P(|\xi_n|<\varepsilon)=1-F_{\xi_n}(\varepslon)=1-1=0$. Получаем ноль, как и должно быть, значит $\frac{\xi_n}{n}$ сходится к нулю по распределению.
Но вот верно ли это?

Нет, не верно. $F_{\xi_n}(\varepsilon)$ при при каком $n$ единице не равно. Если поправите настолько, что $\dfrac1n$ перестанет равняться нулю, то станет верно.

А вот мне интересно, Вы про свойства нормального распределения что-нибудь знаете? Например, сумма каких независимых и одинаково распределённых нормальных величин даст величину с тем же распределением, что задано в условии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 13:48 


16/11/14
47
--mS--,
1)Да, при отрицательных $x$ выходит другой знак
2)Тут, конечно, либо предел нужно написать, либо вероятность $P\to0$, а не равна
3)Да тут с этой функцией вероятности я напутал...
4)Ну, сумма двух нормальных величин с мат ожиданиями $M_1, M_2$ и дисперсиями $D_1, D_2 $ даст нормальную величину с мат ожиданием и дисперсией соответственно $M_1+M_2, D_1+D_2$
То есть мы можем взять некоторое число нормальных величин, например, n, таких, что сумма их мат.ожиданий равна нулю, а сумма их дисперсий равна n. Тогда мы получим: $\eta=N(0,1), \xi_n=n\cdot \eta$, где N(0,1) - нормальное стандартное распределение. Хотя, меня несколько смущает бесконечное число слагаемых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 16:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3968
tazdraperm в сообщении #950682 писал(а):
4)Ну, сумма двух нормальных величин с мат ожиданиями $M_1, M_2$ и дисперсиями $D_1, D_2 $ даст нормальную величину с мат ожиданием и дисперсией соответственно $M_1+M_2, D_1+D_2$

Это неверно, и контрпример - ниже. Чему равна дисперсия $n\cdot \eta$? В каком случае дисперсии складываются?
tazdraperm в сообщении #950682 писал(а):
То есть мы можем взять некоторое число нормальных величин, например, n, таких, что сумма их мат.ожиданий равна нулю, а сумма их дисперсий равна n. Тогда мы получим: $\eta=N(0,1), \xi_n=n\cdot \eta$, где N(0,1) - нормальное стандартное распределение. Хотя, меня несколько смущает бесконечное число слагаемых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 19:20 


16/11/14
47
--mS--, дисперсия и мат ожидание складываются, когда случайные величины-слагаемые независимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3968
А теперь снова:
--mS-- в сообщении #950634 писал(а):
Вы про свойства нормального распределения что-нибудь знаете? Например, сумма каких независимых и одинаково распределённых нормальных величин даст величину с тем же распределением, что задано в условии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 21:34 


16/11/14
47
--mS--, значит, если взять n величин с нормальным стандартным распределением ($\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n$) и сложить их, то получится величина из условия задачи, так? Ведь эти величины независимые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3968
Нет, не получится. Получится величина с таким же распределением, как из условия задачи. А теперь ЗБЧ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 22:01 


16/11/14
47
--mS--, ну да, я и имел ввиду, что распределение будет такое же. Неправильно выразился.
Так, закон больших чисел. Среднее арифметическое достаточно большой выборки из какого-либо фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.
Теперь немного моих рассуждений. Если выборка будет иметь бесконечное число элементов и я поставлю предел, то получу $\lim(\frac{\eta_1+\eta_2+...+\eta_n}{n})=M(\xi_n), n\to\infty$. А математическое ожидание по условию равно нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3968
Это что за терминология такая "будет близко"? Где Вы откопали этот ЗБЧ для домохозяек? Сформулируйте и примените ЗБЧ нормально. Никогда не поверю, что там, где знают, что такое сходимость по распределению, ЗБЧ формулируется в таком дремучем виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 22:32 


16/11/14
47
--mS--,
Среднее арифметическое достаточно большой выборки из фиксированного распределения будет стремиться к математическому ожиданию этого распределения.
Лучше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3968
Ничуть. Начнём с того, что это теория вероятностей, здесь нет никаких выборок. Зато есть независимые и одинаково распределенные случайные величины. Сходимостей последовательностей случайных величин бывает великое множество - например, по распределению. Или по вероятности. Или почти наверное. Или в среднем порядка $7$. Или в среднеквадратичном. Или, или, или. Которая из них спряталась под словами "стремится"?

Впрочем, Вы можете удовлетвориться теми псевдо-решениями, которые Вы уже дали. Может быть, и правда ничего большего от Вас не требуется, а я тут Вас мучаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group