2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение22.12.2014, 23:26 


16/11/14
47
--mS--, попробую еще раз..
Среднее арифметическое независимых и одинаково распределенных случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий этих величин

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение23.12.2014, 07:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3902
Другое дело, только зачем среднее арифметическое матожиданий, они же одинаковы. Просто к матожиданию одной случайной величины. К нулю то есть. Ну а теперь осталось вспомнить определение сходимости по вероятности и сказать, что поскольку $\dfrac{\xi_n}{n}$ распределена так же как $\dfrac{\eta_1+\ldots+\eta_n}{n}$, то
$$\mathsf P\left(\left|\dfrac{\xi_n}{n}\right|\geqslant \varepsilon\right)=\mathsf P\left(\left|\dfrac{\eta_1+\ldots+\eta_n}{n}\right|\geqslant \varepsilon\right)$$
для всякого $\varepsilon>0$, т.е. и $\dfrac{\xi_n}{n}$ сходится к нулю по вероятности.

На самом деле есть смысл и первое Ваше решение - со сходимостью по распределению - довести до ума. А то вдруг преподаватель захочет нескольких решений, и будет прав. Вы там ничего не сказали ещё про $x=0$. А для этого надо определение сходимости по распределению вспомнить и сказать, надо ли что-то про этот икс говорить.

И со сходимостью по вероятности чисто по определению надо бы до ума довести. Неравенство Маркова или напрямую вычислить вероятность, которую Вы в первом сообщении начали вычислять. Только безо всяких $\frac1n=0$. И не теряя модуля:
$$\mathsf P\left(\left|\dfrac{\xi_n}{n}\right|\geqslant \varepsilon\right)=1-(F_{\xi_n}(n\varepsilon)-F_{\xi_n}(-n\varepsilon)),$$
а теперь хоть через функцию ошибок, хоть через $\xi_n/\sqrt{n}\sim N(0,1)$ можно показать, что правая часть стремится к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятностей.
Сообщение10.02.2015, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1211
Самара
Учитывая дату последнего сообщения, позволю себе дополнить тему. Расмотренные виды сходимости, конечно, выполняются и без знания распределения, достаточно моментов. Ну коль скоро известно про гауссовость, можно доказать еще сходимость почти наверное.

Конечно, отсюда
buggsbuggs в сообщении #950576 писал(а):
По-моему, здесь все ясно - случайная величина $\eta = \frac{\xi_n}{\sqrt{n}}$ при ваших данных имеет стандартное нормальное распределение, откуда $\frac{\xi_n}{n} = \frac{\eta}{\sqrt{n}} \to 0$ во всех разумных смыслах.

это никак не следует, ибо $\eta$ здесь зависит от $n$, а никто не обещал для нее п.н. равномерной ограниченности или небыстрого роста максимума.
Тем не менее рассматриваемая гауссовская последовательность ввиду быстрой сходимости хвоста почти наверно не лезет дальше $\sqrt{(2+\delta)n\ln n},\ \delta>0$.
Подробнее, как нетрудно посчитать, для $x>0$
$$
2\left(1-\Phi(x)\right)\leqslant\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}x}e^{-x^2/2}
$$
Поэтому для любого $\varepsilon>0$
$$
\sum\limits_{n=1}^\infty\Prob\left\{\frac{\left|\xi_n\right|}{n}>\varepsilon\right\}=
\sum\limits_{n=1}^\infty\Prob\left\{\frac{\left|\xi_n\right|}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}\varepsilon\right\}\leqslant\sqrt{\frac2\pi}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{\varepsilon\sqrt{n}}e^{-\frac12\varepsilon^2n}<\infty,
$$
откуда и следует п.н. сходимость.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group