Объем тела

[MestnyBomzh]

Добрый вечер. Не могли бы Вы помочь найти объем тела, ограниченного поверхностями: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, z=0, (\frac{x}{a})^{\frac{2}{3}}+(\frac{y}{b})^{\frac{2}{3}}=1$. Довольно очевидно, что нужно переходить к какой-то замене: сферической или цилиндрической. Но при сферической замене $x=r \cos \varphi \cos \teta, y = r \sin \varphi \cos \teta, z=r \sin \teta$ у астроиды получается сумма косинусов и синусов в степенях $\frac{2}{3}$. Тогда попробовал обобщенную сферическую замену: $x=ar \cos^3 \varphi \cos^3 \teta, y = br \sin^3 \varphi \cos^3 \teta, z=cr \sin^3 \teta$, тогда для астроиды получается довольно приличное выражение, но для эллипсоида получаются громоздкие выражения очень. Еще мне успели подсказать цилиндрическую замену. Сделал обобщенную цилиндрическую замену: $x=ar \cos^3 \varphi, y=br \sin^3 \varphi, z=z$ Но у эллипсоида получается $r^2(\cos^6 \varphi + \sin^6 \varphi)=1$, что равносильно $\frac{r^2(3 \cos 4 \varphi + 5)}{8}=1$. Если здесь выражать напрямую $\varphi$, то получится не очень приятное выражение. Подскажите, как тут быть

[provincialka]

MestnyBomzh в сообщении #947240 писал(а):

а цилиндрическая не годится для эллипсоида

Почему? Корней боитесь? Вы, кстати, какой объем хотите считать: внутри астроиды или вне?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

MestnyBomzh
Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.