2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 17:39 


24/03/11
198
Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Помогите, пожалуйста, в решении следующей задачи.

Задача. Найти сумму квадратов первообразных корней степени 60 из 1.

Т.е. пусть $\varepsilon_k$ есть $k$-й первообразный корень степени 60 из 1. Тогда нужно посчитать следующее выражение $$\sum\limits_{(k,60)=1}\varepsilon^2_k,$$где $(k,60)=1$ означает НОД(k,60)=1.

Как я понимаю, количество первообразных корней степени 60 из 1 равно функции Эйлера $\varphi(60)=\varphi(2^2)\varphi(3)\varphi(5)=(2^2-2^1)\cdot2\cdot4=16$
Таким образом, сумма состоит из 16 слагаемых.
Но что мне делать со всей этой информацией, не ясно.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.12.2014, 17:41 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.12.2014, 18:19 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 18:25 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
А Вы можете составить многочлен, корнями которого являются в точности все первообразные корни 60-й степени из единицы? (Он называется многочлен деления круга.)

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 18:38 


24/03/11
198
VAL в сообщении #946280 писал(а):
А Вы можете составить многочлен, корнями которого являются в точности все первообразные корни 60-й степени из единицы? (Он называется многочлен деления круга.)

Единственное, что приходит в голову, это произведение всех скобок вида $(x-\varepsilon_k)$, для всех положительных $k<60$, таких что $(k,60)=1$. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Ну и чему это произведение скобок будет равно?

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 18:40 


24/03/11
198
demolishka в сообщении #946293 писал(а):
Ну и чему это произведение скобок будет равно?

для поиска корней его надо приравнять нулю, но корни-то известны?

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 18:41 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
ZumbiAzul в сообщении #946291 писал(а):
VAL в сообщении #946280 писал(а):
А Вы можете составить многочлен, корнями которого являются в точности все первообразные корни 60-й степени из единицы? (Он называется многочлен деления круга.)

Единственное, что приходит в голову, это произведение всех скобок вида $(x-\varepsilon_k)$, для всех положительных $k<60$, таких что $(k,60)=1$. Верно?
Требуемый многочлен можно найти гораздо проще. Например, раскладывая на множители многочлен $x^{60}-1$. Пусть Вас не пугает, что степень большая. Там все легко делается.

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 18:54 


24/03/11
198
VAL в сообщении #946295 писал(а):
Требуемый многочлен можно найти гораздо проще. Например, раскладывая на множители многочлен $x^{60}-1$. Пусть Вас не пугает, что степень большая. Там все легко делается.

Получается, $$x^{60}-1=(x^{15}-1)(x^{15}+1)(x^{15}-i)(x^{15}+i)$$ Дальше формула разности квадратов не применима, т.к. степени пошли нечетные, что делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 18:58 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Как вариант решения, можно заметить, что сумма квадратов всех корней степени $n$ из $1$ равна $0$ при $n>2$, применить формулу включений-исключений и написать ответ

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 19:02 


24/03/11
198
patzer2097 в сообщении #946312 писал(а):
Как вариант решения, можно заметить, что сумма квадратов всех корней степени $n$ из $1$ равна $0$ при $n>2$, применить формулу включений-исключений и написать ответ

К сожалению, я не встречался с формулой включений-исключений( Что это за формула, как ее применять?

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 19:04 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
ZumbiAzul в сообщении #946307 писал(а):
VAL в сообщении #946295 писал(а):
Требуемый многочлен можно найти гораздо проще. Например, раскладывая на множители многочлен $x^{60}-1$. Пусть Вас не пугает, что степень большая. Там все легко делается.

Получается, $$x^{60}-1=(x^{15}-1)(x^{15}+1)(x^{15}-i)(x^{15}+i)$$ Дальше формула разности квадратов не применима, т.к. степени пошли нечетные, что делать?
Это не то разложение.
Во-первых, Вы вышли за пределы $\mathbb Q[x]$. А во-вторых, Ваши множители не являются неприводимыми.
В качестве начального шага пойдет $(x^{15}-1)(x^{15}+1)(x^{30}+1)$.
А дальше можно применить формулы суммы и разности кубов.
(А потом еще кое-что.)

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 19:06 
Заслуженный участник


14/03/10
867
ZumbiAzul в сообщении #946322 писал(а):
К сожалению, я не встречался с формулой включений-исключений( Что это за формула, как ее применять?
это широко известный факт, можете попробовать поискать тут :P

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 19:41 


24/03/11
198
VAL в сообщении #946323 писал(а):
Вы вышли за пределы $\mathbb Q[x]$.

Это обозначение для кольца многочленов с рациональными коэффициентами? Как я понял, что смысл Ваших слов в том, чтобы не выходить в комплексную плоскость, да?
VAL в сообщении #946323 писал(а):
Ваши множители не являются непридимыми.

Вы имели в виду "неприводимыми"?
VAL в сообщении #946323 писал(а):
В качестве начального шага пойдет $(x^{15}-1)(x^{15}+1)(x^{30}+1)$.
А дальше можно применить формулы суммы и разности кубов.

Вот, что получается: $$(x^{15}-1)(x^{15}+1)(x^{30}+1)=$$ $$=(x^{5}-1)(x^{10}+x^{5}+1)(x^{5}+1)(x^{10}-x^{5}+1)(x^{10}+1)(x^{20}-x^{10}+1)$$
Что тут можно дальше сделать, пока не соображу.

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1
Сообщение14.12.2014, 19:58 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
ZumbiAzul в сообщении #946349 писал(а):
VAL в сообщении #946323 писал(а):
Вы вышли за пределы $\mathbb Q[x]$.

Это обозначение для кольца многочленов с рациональными коэффициентами? Как я понял, что смысл Ваших слов в том, чтобы не выходить в комплексную плоскость, да?

Как и написал, мы не будем выходить из $\mathbb Q[x]$ (даже из $\mathbb Z[x]$)
Цитата:
VAL в сообщении #946323 писал(а):
Ваши множители не являются непридимыми.

Вы имели в виду "неприводимыми"?
Конечно! Очепятался :-(
Цитата:
Вот, что получается: $$(x^{15}-1)(x^{15}+1)(x^{30}+1)=$$ $$=(x^{5}-1)(x^{10}+x^{5}+1)(x^{5}+1)(x^{10}-x^{5}+1)(x^{10}+1)(x^{20}-x^{10}+1)$$
.
Разумеется, это разложение тоже не окончательно.
Но, прежде чем продолжить, давайте разберемся с корнями получившихся сомножителей.
Ведь корни исходного многочлена - это, в точности, корни 60-й степени из единицы.
Значит, корни каждого из сомножителей - это тоже корни 60-й степени из единицы.
В частности, где-то там есть и интересующие нас, первообразные корни. Догадались в каком сомножителе?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group