Решить уравнения

[ZumbiAzul]

Уважаемые форумчане!

Подскажите, пожалуйста, как решать уравнения в области комплексных чисел наподобие следующих:

1. $z^n=i\overline{z}, z=a+bi;$
2. $(z+1)^m+(z-i)^m=0, m \in \mathbb{N}$?

[provincialka]

(1) можно переписать в тригон. или экспоненц. форме. В (2) перенести одно из слагаемых направо.

[ZumbiAzul]

ZumbiAzul в сообщении #944457 писал(а):

1. $z^n=i\overline{z}, z=a+bi;$
2. $(z+1)^m+(z-i)^m=0, m \in \mathbb{N}$?

provincialka в сообщении #944473 писал(а):

(1) можно переписать в тригон. или экспоненц. форме. В (2) перенести одно из слагаемых направо.

Вот, что получается:

Задача 1. Если $z=|z|e^{i\varphi}$, то получаем, что

$$|z|^n e^{in\varphi}=i|z|e^{-i\varphi}.$$

Т.к.

$$i=e^{i(\pi/2+2\pi n)},$$

то уравнение запишется в виде

$$|z|^{n-1}e^{i\varphi n}=e^{i(\pi/2+2\pi n)}e^{-i\varphi}$$

или

$$z=|z|e^{i\varphi}=|z|^{\frac{2-n}{n+1}}e^{i\frac{\pi/2+2\pi n}{n+1}}.$$

Но как тогда посчитать $\cos(\frac{\pi/2+2\pi n}{n+1})$ и $\sin(\frac{\pi/2+2\pi n}{n+1})$?

Задача 2. Получается следующая цепочка равенств:

$$(z+1)^m=-(z-i)^m$$

$$z+1=-\sqrt[m]{-1}(z-i)$$

$$z=\frac{-i e^{i\frac{\pi+2\pi k}{m}}-1}{1-e^{i\frac{\pi+2\pi k}{m}}}$$

Заменим для простоты записи $\alpha=\frac{\pi+2\pi k}{m}$, тогда

$$z=\frac{-i e^{i\alpha}-1}{1-e^{i\alpha}}$$

$$z=\frac{-i(\cos\alpha+i\sin\alpha)-1}{1-\cos\alpha+i\sin\alpha}$$

$$z=\frac{1}{1-\cos2\alpha}(\sin\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha-i\sin^2\alpha-1+\cos\alpha+i\sin\alpha-i\cos\alpha+i\cos^2\alpha)$$

$$z=\frac{1}{1-\cos2\alpha}[(\sin\alpha+\cos\alpha)(1-\cos\alpha-\sin\alpha)-i(1+\cos\alpha-\sin\alpha)]$$

Вот, как-то длинно получается..(

[provincialka]

По первому заданию. Почему при поиске корней из $i$ вы используете номер $n$? Он уже занят. Кроме того, вы не забыли, что $|z|$ -- вещественное и неотрицательное?

[ZumbiAzul]

provincialka в сообщении #944594 писал(а):

По первому заданию. Почему при поиске корней из $i$ вы используете номер $n$? Он уже занят. Кроме того, вы не забыли, что $|z|$ -- вещественное и неотрицательное?

Ой, да, ну пусть там будет

$$z=|z|e^{i\varphi}=|z|^{\frac{2-n}{n+1}}e^{i\frac{\pi/2+2\pi k}{n+1}}.$$

И тогда надо как-то посчитать $\cos(\frac{\pi/2+2\pi k}{n+1})$ и $\sin(\frac{\pi/2+2\pi k}{n+1})$

Насчет |z| вроде не забыл, а где что не так с этим?

[provincialka]

Что касается $|z|$, посмотрите, что у вас получилось.

ZumbiAzul в сообщении #944587 писал(а):

$$|z|^n e^{in\varphi}=i|z|e^{-i\varphi}.$$

Тут либо $z = 0$ (кстати, тоже решение!) Либо на $|z|$ можно сократить. Вот и перенесите модуль на одну сторону, а экспоненту - на другую. И подумайте, в каком случае два такие числа могут быть равны.

[Someone]

ZumbiAzul в сообщении #944605 писал(а):

Насчет |z| вроде не забыл, а где что не так с этим?

provincialka в сообщении #944610 писал(а):

Вот и перенесите модуль на одну сторону, а экспоненту - на другую.

Это не обязательно.

provincialka в сообщении #944610 писал(а):

И подумайте, в каком случае два такие числа могут быть равны.

Вот это существенно. Вспомните условие равенства комплексных чисел, если известны их модули и аргументы, то есть, в тригонометрической или показательной форме. А такие жуткие показатели степени, как в последнем сообщении, совершенно не нужны.

[ZumbiAzul]

provincialka в сообщении #944610 писал(а):

Что касается $|z|$, посмотрите, что у вас получилось. ZumbiAzul в сообщении #944587

писал(а):

$$|z|^n e^{in\varphi}=i|z|e^{-i\varphi}.$$

Тут либо $z = 0$ (кстати, тоже решение!) Либо на $|z|$ можно сократить. Вот и перенесите модуль на одну сторону, а экспоненту - на другую. И подумайте, в каком случае два такие числа могут быть равны.

Вот:

$$|z|^n e^{in\varphi}=i|z|e^{-i\varphi}$$

$$|z|^{n-1}=ie^{-i\varphi(n+1)}$$

Слева у нас вещественное число, значит должно быть, что

$$e^{-i\varphi(n+1)}=-Ai,$$

где $A-$ положительная константа.

[provincialka]

Someone в сообщении #944619 писал(а):

Это не обязательно.

Ну, так проще, мне кажется. Все-таки ТС еще "не ас". Мне -- было проще.

-- 12.12.2014, 00:19 --

ZumbiAzul в сообщении #944622 писал(а):

Слева у нас вещественное число, значит должно быть, что

$$e^{-i\varphi(n+1)}=-Ai,$$

где $A-$ положительная константа.

Ну уж... Похоже, Someone был прав. Так для вас хуже. Слушайте его

(Оффтоп)

А мне надо конспект лекций писать, ох-ох-ох

[ZumbiAzul]

provincialka в сообщении #944623 писал(а):

ZumbiAzul в сообщении #944622

писал(а):
Слева у нас вещественное число, значит должно быть, что

$$e^{-i\varphi(n+1)}=-Ai,$$

где $A-$ положительная константа.
Ну уж... Похоже, Someone был прав. Так для вас хуже. Слушайте его (Оффтоп)

Что не так?:)
Если подставить, то получается что

$$|z|^{n-1}=i(-Ai)$$

$$A=|z|^{n-1}$$

Получили слева и справа вещественные положительные числа.

Что такое ТС?)

[provincialka]

(про ТС)

Когда я впервые увидела это обозначение - посмотрела в гугле и выбрала подходящее

Что не так? Лишнего вы позволяете своей правой части! Конечно, число $|z|$ вещественное и неотрицательное. А вот каким может быть число $e^{i\alpha}$? Неужели любым?

[ZumbiAzul]

Someone в сообщении #944619 писал(а):

Вот это существенно. Вспомните условие равенства комплексных чисел, если известны их модули и аргументы, то есть, в тригонометрической или показательной форме. А такие жуткие показатели степени, как в последнем сообщении
, совершенно не нужны.

Надо отдельно написать уравнения для модулей и для аргументов?

provincialka в сообщении #944628 писал(а):

Что не так? Лишнего вы позволяете своей правой части! Конечно, число $|z|$ вещественное и неотрицательное. А вот каким может быть число $e^{i\alpha}$? Неужели любым?

Чисто мнимым, т.е. косинуса там вообще не должно быть, а, стало быть, аргумент равен $\pi/2+\pi n$... Я правильно рассуждаю?

[provincialka]

Ни черта (извините за мой французский). Например, $e^{i\pi}$ - не чисто мнимое (и вообще не мнимое).

[Someone]

Уточняю вопрос: имеется равенство двух ненулевых комплексных чисел

$$r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2).$$

Каким условиям удовлетворяют $r_1,r_2,\varphi_1,\varphi_2$? Предполагается, естественно, что, как и положено модулям, $r_1>0$ и $r_2>0$.

[ZumbiAzul]

provincialka в сообщении #944634 писал(а):

Ни черта (извините за мой французский). Например, $e^{i\pi}$ - не чисто мнимое (и вообще не мнимое).

Давайте рассматривать данный пример:

$$|z|^{n-1}=ie^{-i\varphi(n+1)}$$

Пусть $\alpha=-\varphi(n+1)$, тогда получается

$$|z|^{n-1}=ie^{i\alpha}$$

Слева вещественное число. Справа мнимая единица умножается на какое-то комплексное число. Н ведь чтобы данное произведение было вещественным (и равным правой части), необходимо, чтобы мнимая единица $i$ умножилось на чисто мнимое число вида $-Ai$, тогда $i^2$ даст вещественное число $A=|z|^{n-1}$.

Для того, чтобы $e^{i\alpha}$ было чисто вещественным, нужно, чтобы $\alpha=\pi/2+\pi n$.

Простите, но я никак не могу понять, что Вы имеете в виду:( Что Вы имеете в виду?

Someone в сообщении #944641 писал(а):

Уточняю вопрос: имеется равенство двух комплексных чисел

$$r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2).$$

Каким условиям удовлетворяют $r_1,r_2,\varphi_1,\varphi_2$?

Ясно, что $r_1=r_2, \varphi_1=\varphi_2$
Вот и получается, что

$$|z|^{n-1}\cdot 1=i\cdot e^{i\alpha}$$

$$|z|^{n-1}e^{2\pi ni}= e^{i(\alpha+\pi/2+2\pi n)}$$

Приравниваем:

$$|z|^{n-1}=1$$

$$\alpha=-\pi/2$$