Найти arg(i+z^n)

[ZumbiAzul]

Уважаемые форумчане!
Помогите, пожалуйста, разобраться в следующей задаче.

Задача.
Дано: $z=\cos\varphi+i\sin\varphi, \varphi\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}$. Найти $\arg{(i+z^n)}$.

Вот, что получается:

$$i+z^n=i+\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)=\cos(n\varphi)+i(1+\sin(n\varphi)).$$

Таким образом, $\arg{(i+z^n)}=\arctg{(\frac{1+\sin(n\varphi)}{\cos(n\varphi)})}$. Что с этим дальше делать, не понятно.

Я, конечно, пробовал как-то преобразовать выражение, но ничего дельного не получается. Дошел до того, что

$$\arg{(i+z^n)}=\frac{1}{2}(\pi-\arccos{(\sin{(n\varphi)})}).$$

Но чему равен $\arccos{(\sin{(n\varphi)})}$, тоже неясно.

[provincialka]

Не проверяла выкладки, но что касается $\arccos(\sin(\alpha))=\beta$ - найдите $\cos\beta$ и решите уравнение.

Кстати, вы слишком вольно обращаетесь с аргументом. Формула не совсем та.

[nnosipov]

ZumbiAzul в сообщении #944401 писал(а):

Задача.
Дано: $z=\cos\varphi+i\sin\varphi, \varphi\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}$. Найти $\arg{(i+z^n)}$.

Вот что, оказывается, можно приготовить из безобидной и хорошо известной задачи: найти тригонометрическую форму числа $1+\cos{\alpha}+i\sin{\alpha}$.

[ZumbiAzul]

provincialka в сообщении #944411 писал(а):

Кстати, вы слишком вольно обращаетесь с аргументом. Формула не совсем та.

А какая?

nnosipov в сообщении #944416 писал(а):

Вот что, оказывается, можно приготовить из безобидной и хорошо известной задачи: найти тригонометрическую форму числа $1+\cos{\alpha}+i\sin{\alpha}$.

Каков алгоритм решения?

[nnosipov]

ZumbiAzul в сообщении #944420 писал(а):

Каков алгоритм решения?

Начните с воспоминаний о школьных тригонометрических тождествах.

[provincialka]

ZumbiAzul в сообщении #944420 писал(а):

А какая?

А никакой. Там надо случаи рассматривать. Ведь $\arctg$ меняется от $-\pi/2$ до $\pi/2$, а аргумент пробегает целый круг.

[ZumbiAzul]

provincialka в сообщении #944432 писал(а):

А никакой. Там надо случаи рассматривать. Ведь $\arctg$ меняется от $-\pi/2$ до $\pi/2$, а аргумент пробегает целый круг.

Ясно, спасибо!)

nnosipov в сообщении #944425 писал(а):

Начните с воспоминаний о школьных тригонометрических тождествах.

Ну вот, что-то повспоминал, правильно решение?

$1+\cos\alpha+i\sin\alpha=(\cos 0+cos\alpha)+i(\sin 0+\sin\alpha)=2\cos\frac{\alpha+0}{2}\cos\frac{\alpha-0}{2}+i\cdot2\sin\frac{\alpha+0}{2}\cos\frac{\alpha-0}{2}=2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2})$.

Таким образом, аргумент равен $\alpha/2$.

[nnosipov]

ZumbiAzul в сообщении #944435 писал(а):

Таким образом, аргумент равен $\alpha/2$.

В общем. да. Надо только оговорить, что $\alpha$ должно быть таким, чтобы $\cos{(\alpha/2)}$ был положительным. Иначе формулу нужно слегка докрутить.

[ZumbiAzul]

nnosipov в сообщении #944439 писал(а):

В общем. да. Надо только оговорить, что $\alpha$ должно быть таким, чтобы $\cos{(\alpha/2)}$ был положительным. Иначе формулу нужно слегка докрутить.

Но если он будет отрицательным, то аргумент все равно останется таким же, как я его и нашел, да?

[nnosipov]

ZumbiAzul в сообщении #944447 писал(а):

Но если он будет отрицательным, то аргумент все равно останется таким же, как я его и нашел, да?

Нет. Выучите определение аргумента комплексного числа.

[ZumbiAzul]

nnosipov в сообщении #944451 писал(а):

Нет

Если $\cos\alpha/2<0,$ тогда аргумент будет $\pi-\alpha/2$?

[nnosipov]

ZumbiAzul в сообщении #944468 писал(а):

Если $\cos\alpha/2<0,$ тогда аргумент будет $\pi-\alpha/2$?

Опять нет.

[provincialka]

Если косинус будет отрицательным, то что будет модулем числа?

[ZumbiAzul]

provincialka в сообщении #944476 писал(а):

Если косинус будет отрицательным, то что будет модулем числа?

Если "минус" вынести за скобки, то модуль станет отрицательным. Хм... Правильно ли я понимаю, что чтобы косинус сделать опять положительным, надо использовать формулы приведения?

[provincialka]

ZumbiAzul в сообщении #944482 писал(а):

Если "минус" вынести за скобки, то модуль станет отрицательным

Не уверена, что поняла, о чем вы.

ZumbiAzul в сообщении #944482 писал(а):

надо использовать формулы приведения

Можно и так.