2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Многочлен от двух переменных
Сообщение13.12.2005, 08:14 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
P(x,y)-многочлен с действительными коэффициентами от двух действительных переменных x и y. Известно, что все его корни ( т.е. точки (x,y), в которых P(x,y)=0) изолированы - каждый корень обладает окрестностью, в которой нет других корней.
Надо доказать (или привести контрпример),что
1) при всех x,y P(x,y)>=0 либо при всех x,y P(x,y)<=0
2) при (x,y)->infin P(x,y) равномерно стремится к +infin (+ для определённости)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 08:26 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
По-моему, вы не очень хорошо сформулировали условие. "Известно, что все его корни изолированы" - это условие задачи, а не некотороый факт о многочленах. А то я уже было испугался.

Есть идея по решению, но надо еще подумать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
1) можно доказать от противного, используя только непрерывность многочлена.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 10:35 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
незванный гость писал(а):
:evil:
1) можно доказать от противного, используя только непрерывность многочлена.


U={P>0}, V={P<0}, N={P=0}
Так как P-непрерывная функция, то множества U и V открытые, а множество N замкнутое.
U, V, N попарно не пересекаются и в обьединении дают всю плоскость.
Из условия задачи следует, что множество U+V(объединение) = R^2-N связно.
Так как U и V - открытые, то одно из них пустое.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 11:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Padawan писал(а):
U={P>0}, V={P<0}, N={P=0}
Так как P-непрерывная функция, то множества U и V открытые, а множество N замкнутое.
U, V, N попарно не пересекаются и в обьединении дают всю плоскость.
Из условия задачи следует, что множество U+V(объединение) = R^2-N связно.
Так как U и V - открытые, то одно из них пустое.

Красиво. Меня смущают только последние две фразы. Я бы (на месте преподователя) попросил их обосновать. На теоремы сослаться. Скажем так: связность суть понятие топологии клеточных пространств (~4-5 семестр матмеха). А задача сия, в общем, на первый курс матана тянет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 11:35 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
:)
Топ. пространство называется (одно из определений) связным, если его нельзя представить в виде дизъюнктного объединения двух непустых открыто-замкнутых множеств. У нас U+V - пространство, U и V - открыто-замкнутые непересекающиеся множества в этом пространсве->одно из них пустое.
Связность U+V cледует, например, из линейной связности (она очевидна, т.к. N-дискретное множество).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Padawan писал(а):
Связность U+V cледует, например, из линейной связности

А как следует? И как Вы будете определять линейную связность? :oops: Мне, к стыду моему, по-прежнему неочевидно.

2), кстати, неверно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 12:32 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
незванный гость писал(а):
2), кстати, неверно.


:shock: Вот те на! А контрпример (многочлен) ?

Есть теорема, что из линейной связности следует связность. А для открытых подмножеств R^n эти понятия вообще совпадают.
Множество N имеет такую структуру: в любом круге с центром в начале координат конечное число точек из N. По-моему очевидно, что R^2-N линейно связно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Padawan писал(а):
Есть теорема, что из линейной связности следует связность. А для открытых подмножеств $\mathbb R^n$ эти понятия вообще совпадают.

Верно, только вот как?

Padawan писал(а):
Множество N имеет такую структуру: в любом круге с центром в начале координат конечное число точек из N.

Верно. Почему?

Padawan писал(а):
По-моему очевидно, что $\mathbb R^2 \setminus {\rm N}$ линейно связно.

Опять же. Переход верный, но неочевидный лично мне.

~~~
Не сочтите за занудство. У Вас очень красивое доказательство. Пока я заполнял в нем дырки - для себя - я понял как упростить и сократить свое доказательство (шедшее по совершенно другой схеме) до буквально нескольких фраз. Но Ваш путь как бы просит вопросов. Он базируется на глубоких общеизвестных фактах из другой теории.

Простите, но Ваше задача выглядит учебной, причем из начала курса математики. Ссылаться на топологические факты - от Вас могут потребовать построения этой теории. Как я своими вопросами.

Скажите, пожалуйста, если я не прав. Во-первых, отстану. Во вторых - сразу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 19:37 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
А как насчёт контрпримера к пункту 2) ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Да ради Бога. Я был убежден, Вам интересно подумать. $1+x^2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Еще подумав, так и проще - константа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.12.2005, 06:36 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
:oops:
Я предполагал, что хотя бы один корень должен быть....

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.12.2005, 08:16 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
Если есть корень, то вдоль любого луча, выходящего из этого корня P(x,y) стремится к +бесконечности, но как доказать, что это стремление равномерно по всем направлениям?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.12.2005, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9592
Кентакска волост
Подскажите определение равномерного стремления к бесконечности

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group