Связь НОД и НОК

[ellipse]

Пусть $K$ - область целостности, т.е. коммутативное кольцо без делителей нуля, $a,b\in K, a,b\ne 0$.

Можно доказать, что из существования НОК $[a,b]=m$ следует существование НОД $(a,b)=\frac{ab}{m}$.

Как известно, евклидовость кольца обеспечивает существование НОД. Хотелось бы иметь утверждение, по которому лишь из существования НОД следовало бы существование НОК и известное соотношения между ними.

Следует ли из существования $(a,b)=d$ существование $[a,b]=m$ и соотношение $ab=dm$? Если да, то как это доказать.

[nnosipov]

ellipse в сообщении #942274 писал(а):

Следует ли из существования $(a,b)=d$ существование $[a,b]=m$ и соотношение $ab=dm$?

Нет, не следует. Попробуйте найти контрпример.

Да, кстати, как Вы определяете НОД и НОК?

[ellipse]

Значит для доказательства нужно использовать свойство НОД в евклидовых кольцах $(a,b)=ax+by$?

НОД (a,b) определяется как число d, удовлетворяющее свойствам:
1) $d|a$, $d|b$;
2) $c|a, c|b \Rightarrow c|d$.

В каком кольце искать контрпример? Знаю кольца такого вида $K=\{a+b\sqrt{-p}: \ a,b\in Z\}$ с неоднозначным разложением на простые множители. Но там не получается найти контрпример.

[nnosipov]

ellipse в сообщении #942293 писал(а):

Значит для доказательства нужно использовать свойство НОД в евклидовых кольцах $(a,b)=ax+by$?

Есть ещё варианты --- кольца главных идеалов, вообще, произвольные факториальные кольца. В евклидовых кольцах просто есть эффективный алгоритм для отыскания НОД и НОК.

ellipse в сообщении #942293 писал(а):

НОД (a,b) определяется как число d, удовлетворяющее свойствам:
1) $d|a$, $d|b$;
2) $c|a, c|b \Rightarrow c|d$.

Да, именно это определение и имелось в виду. И аналогично для НОК.

ellipse в сообщении #942293 писал(а):

В каком кольце искать контрпример? Знаю кольца такого вида $K=\{a+b\sqrt{-p}: \ a,b\in Z\}$ с неоднозначным разложением на простые множители. Но там не получается найти контрпример.

Получится. Докажите, что числа $1 \pm \sqrt{-5} \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ взаимно просты (т.е. их НОД равен единице), но не имеют в этом кольце наименьшего общего кратного.