уравнение линии на поверхности

[loshka]

Здравствуйте, вопрос простой, но как-то у меня плохо с представлением координатных сеток на поверхностях

Мне надо написать уравнение параллельного переноса на круговом конусе вдоль одной из окружностей на конусе и вот тут я не могу представить себе как выглядит моя сетка

параметризация у меня такая
$x=aucos(v)$
$y=ausin(v)$
$z=cu$

встает вопрос как выглядит уравнение окружности на этой поверхности, как я понимаю $u$ это линии проходящие из вершины конуса а $v$ угол между начальной линией и следующими линиями проходящей из вершины, но это очевидно не правильно

подскажите, а было бы очень классно если еще показали рисунок, как это выглядит,а то все никак сообразить не могу

думаю уравнение будет таким $u= \operatorname{const}$, $v=t$

[VanD]

Действительно, то что при вложении конуса без 0 станет окружностью, задается в координатах на конусе как $u =Const$. Это ясно из того, что Вы хотите, чтобы $x^2+y^2$ было константой, как и $z$.
А про то, что за линии $u$ и $v$, я не понял что имеется в виду. Какие именно линии Вы хотите рассмотреть? Нельзя же просто сказать "линия $u$".

[provincialka]

"Окружность на поверхности"- это что? Надо дать определение. Конус - развертывающаяся поверхность. Поэтому его можно развернуть, нарисовать окружность, а потом снова свернуть. Вы это называете окружностью? Или же вы имеет в виду круглое сечение конуса? То есть окружность в трехмерном пространстве.

[loshka]

provincialka эм, раз я делаю параллельный перенос векторного поля по кривой на поверхности, то думаю, что это кривая живет только на конусе , но наверно тут это без разницы и можно рассматривать как сечение конуса плоскостью так что бы в пересечение была окружность

VanD $u,v$ это локальные координаты на поверхности, они образуют координатную сетку и я хочу понять, как она выглядит

[provincialka]

Это два разных вопроса. Задать линию на конусе можно независимо ни от какого параллельного переноса. И какая именно вам нужна - решать вам. Ну, по-крайней мере, не нам.

loshka в сообщении #942041 писал(а):

как я понимаю $u$ это линии проходящие из вершины конуса а $v$ угол между начальной линией и следующими линиями проходящей из вершины, но это очевидно не правильно

Несколько косноязычно. Я поняла это так, что вам нужен вид координатных линий, то ест $u$-линий, задаваемых уравнением $v=\operatorname{const}$, и $v$-линий, задаваемых уравнением $u=\operatorname{const}$. Так?

[loshka]

Моя кривая это есть круглое сечение конуса

Я честно говоря плохо представляю, что такое координатная сетка на поверхности, вот если взять известный пример, сфера и на ней вводятся стандартным способом координатные линии, в виде меридиан и параллелей, т.е. координатные линии это окружности, а как к этому пришли, это как-то следует из параметризации?

[provincialka]

loshka в сообщении #942698 писал(а):

сфера и на ней вводятся стандартным способом координатные линии, в виде меридиан и параллелей, т.е. координатные линии это окружности, а как к этому пришли, это как-то следует из параметризации?

Именно так. И я вам написала, как надо рассуждать. Вот ваша параметризация:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=& au\cos v\\ y&=& au\sin v\\ z&=& cu\\ \end{array} \right.$$

Если зафиксировать $v$, меняться будет только $u$. Примерно как в декартовой плоскости прямые $y=\operatorname{const}$ образуют семейство $x$-линий. Обозначим для удобства $a\cos v =a_1,a\sin v =b_1$. Напомню, чтов нашем предположении это константы. Получаем:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=& a_1u\\ y&=& b_1u\\ z&=& cu\\ \end{array} \right.$$

И что же это за линия?

-- 08.12.2014, 23:01 --

Или можно еще так рассуждать: $v=\operatorname{const}$ есть некая поверхность. Какой вид она имеет? Как пересекает конус?

[Yu_K]

http://dxdy.ru/topic23774.html там ссылки посмотрите.