Координаты в полярной системе

[Seergey]

Если в декартовой системе координат вектор $\mathbf{r}=2\mathbf{i}+2\mathbf{j}$,
то в полярной СК (полярная ось направлена вдоль OX) он будет разложен как $\mathbf{r}=\sqrt{8}\mathbf{e_r}$



А можно ли его так разложить, чтобы была ещё и $\varphi$-ая компонента?
Например $\mathbf{r}=2\mathbf{e_r}-2\mathbf{e_\varphi}$



И какие будут координаты у вектора в полярной системе координат (их должно быть две)
одной берется длина вектора, а вторая - угол между ортом полярной оси и ортом $\mathbf{e_r}$

То есть в первом случае координатами вектора будут
$q_1=\sqrt{8}$
$q_2=\frac{\pi}{4}$

А как найти координаты во втором случае?

[Pphantom]

Сначала определите каким-нибудь внятным образом $\mathbf{e_r}$ и $\mathbf{e_\varphi}$. Пока что из написанного Вами следует, что всякий вектор всегда сонаправлен $\mathbf{e_r}$.

Ну и заодно полезно было бы прояснить, что в полярной системе координат понимается под "разложением" (и зачем).

[Seergey]

$e_r$ и $e_\varphi$ это просто подвижный базис из векторов. В каждой точке пространства он занимает определенное положение относительно полярной оси. Так вот получается что в зависимости от точки пространства вектор, постоянный относительно полярной оси, раскладывается по разному. Что тогда понимается под координатами этого вектора?

[provincialka]

Не раскладывается. И не понимается. С чего бы ему раскладываться?
Вернее, если $\matbf{e_r}$ - единичный вектор вектора $\vec r$, то $\vec r = |r|\matbf{e_r}$. Если же $\matbf{e_r}$ определяется как-то по-другому,то причем тут индекс $r$?

[Shtorm]

Seergey, полярная система координат является криволинейной системой координат и была введена для удобства описания ряда кривых. То есть, в декартовой системе координат, например, уравнение четырёхлепестковой розы описывается сложным громоздким уравнением, а в полярной системе описывается очень удобным компактным уравнением. А бывает и наоборот: в полярной системе описывается что-то более сложно, нежели чем в декартовой. Если записать координаты вектора - как разность координат конца и начала вектора в декартовой системе координат, а потом подставить в это выражение координаты конца и начала вектора, выраженные через полярные координаты, то - да мы получим координаты вектора, в полярной системе координат - где обе компоненты, как Вы и хотели - содержат и полярный угол, и полярный радиус. Это выражение сложнее чем в декартовой (а что Вы хотели - П.С.К. - криволинейная, а вектор-то прямой! ), а потому какой смысл его вводить?

[arseniiv]

Seergey в сообщении #941937 писал(а):

Что тогда понимается под координатами этого вектора?

Под коордиатами вектора в данном базисе всегда понимается одно и то же. И неудивительно, что если брать один из векторов базиса коллинеарным интересующему, у того всегда будет не больше одной ненулевой координаты.

Связать ровно один базис можно только с аффинной системой координат (декартовой в частном случае).

[Seergey]

А что тогда означает матрица перехода

$$ \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\rho \sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi \end{pmatrix}$$

Это просто можно найти координаты точки в полярной СК, зная их в декартовой?

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\rho \sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho \\ \varphi \end{pmatrix} $$

И как устроен базис в полярной СК? Если у точки в декартовой СК координаты $(2,2)$, то в полярной, если полярная ось вдоль ОХ, то, понятно, что будет $(\sqrt{8},\frac{\pi}{4})$, тогда что же вектор из этой точки в начало координат в декартовой СК записывается как $\mathbf{r}=2\mathbf{i}+2\mathbf{j}$, а в полярной нельзя написать просто $\mathbf{r}=\sqrt{8}\mathbf{e_r}$?

[ИСН]

У Вас неправильный подход. Число всевозможных комбинаций разных буковок растёт очень быстро. Придумать смысл каждой такой комбинации, наверное, можно. Но математика работает не так.

[Seergey]

ИСН в сообщении #942055 писал(а):

У Вас неправильный подход. Число всевозможных комбинаций разных буковок растёт очень быстро. Придумать смысл каждой такой комбинации, наверное, можно. Но математика работает не так.

я исправил phi на varphi

[ИСН]

Спасибо, но по сути это ничего не меняет.

[Shtorm]

Seergey в сообщении #942048 писал(а):

что будет $(\sqrt{8},\frac{\pi}{4})$, тогда что же вектор из этой точки в начало координат записывается как $\mathbf{r}=2\mathbf{i}+2\mathbf{j}$, а в полярной нельзя написать просто $\mathbf{r}=\sqrt{8}\mathbf{e_r}$?

А где тут в записи $\mathbf{r}=\sqrt{8}\mathbf{e_r}$ будет заложен угол $\frac{\pi}{4}$ ? Надо как-то его сюда присобачить.
По определению: Базисом на плоскости являются два любых неколлинеарных вектора, взятые в определённом порядке. Это определение верно и для П.С.К.. Что если взять два перпендикулярных вектора - как декартов базис, но второй базисный вектор выражать через полярный угол $\varphi $?

[provincialka]

Не так:

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\rho\sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho\cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho \\ \varphi \end{pmatrix} $$

а так:

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} $$

где $(x_1,y_1)$ - другие, но тоже декартовы координаты. А $\varphi$ - это угол поворота, а не координата.

-- 07.12.2014, 22:36 --

У меня есть мысль, откуда у ТС этот вопрос. Вот в формулах у него появился якобиан. Видимо, здесь что-то связанное с преобразованием локального базиса. Но тогда надо говорить о векторах, "выпущенных" из точки $(x,y) = (\rho\cos\varphi, \rho\sin\varphi)$.

[Xaositect]

Не, это не то. Это

$$ \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\rho\sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho\cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d\rho \\ d\varphi \end{pmatrix}$$

[Seergey]

$(x_1,y_1)$ это что за координаты?

[provincialka]

Seergey, это не важно (ну, просто повернутая система $Oxy$). Вы лучше посмотрите на то, что написал чуть выше Xaositect. Подозреваю, что именно это вам и нужно.