2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 12:15 
Аватара пользователя
Как это освещается в стандартных (США/Канаде) учебниках ДУ (2й курс):

рассмотрим нелинейную систему
$$\begin{aligned}
&x'=f(x,y),\\
&y'=g(x,y)
\end{aligned}\tag{1}$$
и пусть $(\bar{x},\bar{y})$ стацонарная точка (т.е. $f(\bar{x},\bar{y})=g(\bar{x},\bar{y})=0$. Рассмотрим линеаризацию
math]$$\begin{aligned}
&\xi'=f_x \xi + f_y\eta,\\
&\eta'=g_x\xi +g_y \eta
\end{aligned}\tag{2}$$
где все частные производные вычисляются в $(\bar{x},\bar{y})$. Предположим, что матрица $\begin{pmatrix} f_x & f_y \\ g_x & g_y\end{pmatrix}$ имеет только ненулевые собственные значения. Тогда классификация стационарных точек линейной системы (2) переносится на нелинейную систему (1) за исключением двух случаев:

I. Собственные значения чисто мнимые. Тогда у линейной системы будет центр, а у нелинейной—то ли цент, то ли устойчивая или неустойчивая спиральная точка.

Здесь все чисто и имеется пример
$$\begin{aligned}
&x'=-y +\alpha x(x^2+y^2),\\
&y'=x+ \alpha y(x^2+y^2)
\end{aligned}\tag{1}$$
Правда, спираль коллапсирует к началу координат очень медленно (вблизи его), но все же коллапсирует.

II. Собственные значения равны. Тогда у линейной системы будет узел (стабильный или нестабильный)—собственный, если имеется два собственных вектора, или несобственный, если имеется только один, а у нелинейной системы м.б. и узел, и спиральная точка.

Вот это мне начало казаться подозрительным. Мне кажется (и я полагаю это легко доказать, но хочу проверить), что у нелинейной системы будет узел такого же типа, что и у линейной. А именно, если имелось два с.в. то будет собственный узел (любая траектория входит (на бесконечности) в узел со своим собственным направлением), а если один с.в. то будет несобственный узел (любая траектория входит (на бесконечности) в узел содним из двух направлений). При этом количество оборотов вокруг $0$ будет (в окрестности $0$) конечно.

Да, конечно, если мало возмутить коэффициенты линейной системы, то могут появиться и "другие" узлы, и спиральные точки—но это все-таки другой вопрос.

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 12:37 
Red_Herring в сообщении #938251 писал(а):
Тогда у линейной системы будет узел (стабильный или нестабильный)—собственный, если имеется два собственных вектора, или несобственный, если имеется только один, а у нелинейной системы м.б. и узел, и спиральная точка.

Откуда при равных собственных значениях может возникнуть фокус?

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 12:47 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #938258 писал(а):
Откуда при равных собственных значениях может возникнуть фокус?


Вы это у авторов учебников спросите… Вот скриншот (и соответствующая страница) из вполне приличного и очень популярного
W. E. Boyce, R. C. DiPrima Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 10th
У меня как раз обратная точка зрения


У вас нет доступа для просмотра вложений в этом сообщении.

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 12:49 
Нет, я первый раз слышу. Можно ссылку на учебник или пример оттуда. Для политпросвету.

Upd Ага, спасибо.

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 13:10 
Аватара пользователя
Похоже, однако, что в других "софоморских" учебниках этот вопрос совсем не рассматривается. Мне хочется убедиться в своей правоте прежде чем кричать "Bloody murder!"

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 13:11 
Red_Herring в сообщении #938251 писал(а):
Вот это мне начало казаться подозрительным. Мне кажется (и я полагаю это легко доказать, но хочу проверить), что у нелинейной системы будет узел такого же типа, что и у линейной. А именно, если имелось два с.в. то будет собственный узел (любая траектория входит (на бесконечности) в узел со своим собственным направлением), а если один с.в. то будет несобственный узел (любая траектория входит (на бесконечности) в узел содним из двух направлений). При этом количество оборотов вокруг $0$ будет (в окрестности $0$) конечно.

Я могу одно сказать: что Ваши подозрения легко и непринужденно следуют из очень известных результатов теории нормальных форм в аналитическом случае точно. Более того, вырожденный узел линеаризуем. Поэтому если это был узел по линейной части, то он узлом и останется. Тем более сохранится тип устойчивости.

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 13:20 
Аватара пользователя
Ну я думаю что все даже проще: просто рассмотреть поведение решений при $t\to \infty$ (соответствующего знака). Спасибо. Хотелось подстраховаться прежде чем кричать "Bloody murder".

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 13:48 
Red_Herring в сообщении #938251 писал(а):
Как это освещается в стандартных (США/Канаде) учебниках ДУ (2й курс):

У нас 2-й курс учат, что классификация особой точки совпадает с ее классификацией по линейной части во всех случаях, кроме центра по линейной части. Где малое искажение векторного поля за счет нелинейного добавка способно привести к тому, что траектории перестанут быть замкнутыми, и тогда получится фокус. Во всех остальных ситуациях малое шевеление в.п. локально в окрестности особой точки к таким фатальным последствиям привести не в состоянии.

(Мне искренне интересно, как авторы мотивируют свою таблицу. Ну не с потолка же она.)

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 14:04 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #938294 писал(а):
Red_Herring в сообщении #938251 писал(а):
Как это освещается в стандартных (США/Канаде) учебниках ДУ (2й курс):

У нас 2-й курс учат, что классификация особой точки совпадает с ее классификацией по линейной части во всех случаях, кроме центра по линейной части. Где малое искажение векторного поля за счет нелинейного добавка способно привести к тому, что траектории перестанут быть замкнутыми, и тогда получится фокус. Во всех остальных ситуациях малое шевеление в.п. локально в окрестности особой точки к таким фатальным последствиям привести не в состоянии.

(Мне искренне интересно, как авторы мотивируют свою таблицу. Ну не с потолка же она.)


Никак. Это курс для не математиков. Думаю, что авторов смутило то,
Цитата:
Да, конечно, если мало возмутить коэффициенты линейной системы, то могут появиться и "другие" узлы, и спиральные точки

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 14:14 
Red_Herring в сообщении #938303 писал(а):
Никак. Это курс для не математиков. Думаю, что авторов смутило то,
Цитата:
Да, конечно, если мало возмутить коэффициенты линейной системы, то могут появиться и "другие" узлы, и спиральные точки

Ну это да, могут, конечно. Может быть все, что угодно. Но тогда уже столбец таблицы назван неудачно. Не стоило писать Locally Linear System, так бы и писали Nonlinear System. (И тут бы возникло еще больше вопросов.))

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 19:36 
Аватара пользователя
А могут в результате малого возмущения появиться не точечные особенности, а скажем, в виде линии?

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 20:18 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #938468 писал(а):
А могут в результате малого возмущения появиться не точечные особенности, а скажем, в виде линии?


Появиться—нет, исчезнуть—да.

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 21:16 
Появиться тоже могут, только в двумерном случае это скучно, во-первых, а во-вторых, естественно, что все такие особенности вырожденные (с хотя бы одним нулевым собственным значением). Например,$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \dot{x}&=&x+xy \\
\dot y &=& y+y^2 \\
\end{array}
\right$$
с вновь обретенной кривой особых точек $y=-1$.

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение30.11.2014, 23:14 
Аватара пользователя
Otta
Это возмущение—не малое (вне окрестности $y=0$) . И если мы линеаризируем эту систему, скаем, в $(0,-1)$ то получим систему в особенностями на линии.

 
 
 
 Re: Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ
Сообщение01.12.2014, 01:42 
Вне - нет, но локально в окрестности нуля - да.
Red_Herring в сообщении #938587 писал(а):
И если мы линеаризируем эту систему, скаем, в $(0,-1)$ то получим систему в особенностями на линии.

Дык мне показалось, этого Munin и хотел. Вот я и состряпала.

Тут надо уточнять вопрос, собственно.

 
 
 [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group