Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ

[Munin]

Пожалуй, я имел в виду особенности в окрестности той, в которой происходила линеаризация. Так что спасибо, Otta, ваш пример не подходит.

[Otta]

Munin в сообщении #938635 писал(а):

Пожалуй, я имел в виду особенности в окрестности той, в которой происходила линеаризация.

У нас было две разные интерпретации Вашего вопроса. Но кто ж мог предполагать аж такое.
Нет, это никак невозможно. Ни при каком понимании.

[Red_Herring]

 После некоторых размышлений я понял, что мои рассуждения требуют некоторой гладкости (например $f,g\in C^{1+\sigma}$ с $\sigma>0$). Ну и ссылки Otta т.б. Если этого нет то…

Пример 1.

$$\begin{aligned} &x'=-x-yf( r),\\ &y'=-y+xf( r) \end{aligned}$$

$f\in C$, $f(0)=0$, где $r,\theta$ полярные координаты;  тогда при $f( r)=-1/\ln (r )$ у нас будет $x=e^{c-t}\cos (\ln (t-c))$, $y=e^{c-t}\sin (\ln (t-c))$ и собственный узел превращается в фокус (с медленным вращением, но все ж таки фокус)

Надо еще разобраться с несобственным узлом

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #938648 писал(а):

собственный узел превращается в фокус (с

что не удивительно, ибо это одно и тоже с точностью до гомеоморфизма. вообще, мне не очень понятно как можно заниматься классификацией особенностей не договорившись о классе преобразований.

-- Пн дек 01, 2014 11:08:42 --

я думаю, Munin имел в виду факт ,вытекающий из теоремы о неявной функции

[Otta]

Oleg Zubelevich в сообщении #938684 писал(а):

что не удивительно, ибо это одно и тоже с точностью до гомеоморфизма. вообще, мне не очень понятно как можно заниматься классификацией особенностей не договорившись о классе преобразований.

Это понятно, и это известно.
Но познакомившись с источником, я поняла, что им не до таких зияющих высот )), а все проще. Они не ведут речи ни о какой эквивалентности вообще. Есть нелинейная система с особой точкой (типа А), есть ее линейная часть и соответствующая ей линейная система с особенностью типа Б. Так вот, по типу Б требуется восстановить тип А.

В аналитическом и гладком случае это (практически) одно и то же, за исключением центра, как уже упомянуто. И следует из задач классификации в частности.

В топологическом, - да, фокус и узел эквивалентны - но! тогда и первые две строки, например, этой чудесной таблицы, вынуждены были выглядеть иначе. Чего нет. Потому что выбрасывание нелинейных членов (с помощью сопрягающего гомеоморфизма, естественно) - это, вообще говоря, неполный класс допустимых преобразований для топологической классификации. Где даже отношение собственных значений не является инвариантом.

Oleg Zubelevich в сообщении #938684 писал(а):

я думаю, Munin имел в виду

Я думаю, лучше пусть он сам скажет.

[Oleg Zubelevich]

ну я всетаки сформулирую, с Вашего дозволения, а то странно как-то...

Уравнение

$$Ax+f(x)=0,\quad |f(x)|\le c|x|^2,\quad det\, A\ne 0$$

не имеет других решений кроме нуля в достаточно малой окрестности нуля. (функция $f$ достаточно гладкая)

[Otta]

Причем тут мое дозволение ), ну да, не имеет.

[Red_Herring]

К тому, что Otta написала добавлю:

Есть вполне приличный и очень популярный учебник по ОДУ—но не для математиков, и изучается он обычно на 2м году. Там имеется утверждение, которое не вполне точно и, более того, термины для нелинейных систем не определены. Вопрос: можно ли его уточнить? Ответ: да, если мы знаем, что $f,g\in C^{1+\sigma}$ с $\sigma>0$. А что будет если $f,g\in C^1$?

Фокус — траектории стремятся к 0, совершая бесконечное число оборотов
Узел—траектории стремиятся к 0, не совершая бесконечное число оборотов и авторы для нелинейных систем устойчивые узлы не классифицируют, но мы все же попробуем
Собственный узел—узел, при котором каждая траектория входит со своего направления
Несобственный узел—узел, при котором каждая траектория входит с одного из двух противоположных направлений
Общий узел—узел, при котором каждая траектория входит с одного из двух противоположных направлений, за исключением двух траекторий, входящих с двух других противоположных направлений



Вопрос 1: если линеаризованная система имеет собственный узел, то какие варианты возможны для нелинейной системы? Имеются ли другие типы узлов?

Вопрос 2: если линеаризованная система имеет несобственный узел, то какие варианты возможны для нелинейной системы? Имеются ли другие типы узлов?

[Munin]

Otta в сообщении #938636 писал(а):

:mrgreen: У нас было две разные интерпретации Вашего вопроса. Но кто ж мог предполагать аж такое.
Нет, это никак невозможно. Ни при каком понимании.

Хорошо, спасибо, именно это меня и интересовало :-)

Oleg Zubelevich в сообщении #938684 писал(а):

я думаю, Munin имел в виду факт ,вытекающий из теоремы о неявной функции

Я не знаю, какой факт?

Я дилетант во всём этом, расценивайте меня в этой теме как первоклассника, не намёками :-)

-- 01.12.2014 23:05:11 --

Red_Herring в сообщении #938765 писал(а):

Собственный узел—узел, при котором каждая траектория входит со своего направления
Несобственный узел—узел, при котором каждая траектория входит с одного из двух противоположных направлений
Общий узел—узел, при котором каждая траектория входит с одного из двух противоположных направлений, за исключением двух траекторий, входящих с двух других противоположных направлений

Я так понял, картинки для узлов соответственно такие: $\times,\cup|\cap,{\supset}|{\subset}.$ Несколько непонятно, без неравенств на собственные векторы и значения, чем мотивировано название "общий".

[Red_Herring]

Munin в сообщении #938929 писал(а):

есколько непонятно, без неравенств на собственные векторы и значения, чем мотивировано название "общий".

В последнем случае (который для линейных систем случается при веществеммых разных с.з.—что и мотивирует название) картинка \huge{$\ni\hskip-10pt|\hskip-10pt\in$}

[Munin]

Ну да, я так и понял, только среднюю линию не нарисовал.

Red_Herring в сообщении #938984 писал(а):

который для линейных систем случается при веществеммых разных с.з.—что и мотивирует название

Всё, понятно.

[Otta]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #938929 писал(а):

Я не знаю, какой факт?

Этот:

Oleg Zubelevich в сообщении #938691 писал(а):

Уравнение

$$Ax+f(x)=0,\quad |f(x)|\le c|x|^2,\quad \det\, A\ne 0$$

не имеет других решений кроме нуля в достаточно малой окрестности нуля. (функция $f$ достаточно гладкая)

[Red_Herring]

Мне кажется, что должен работать следующий пример с несобственным узлом.

Пример 2
Возьмем Пример 1 из http://dxdy.ru/post938648.html#p938648

$$\begin{aligned} &x'=-x-yf( r),\\ &y'=-y+xf( r) \end{aligned}$$

и заменим $y$ на $y-xt$:

$$\begin{aligned} &x'=-x-(y-xt)f( r),\\ &y'=-y+x+ [(y-xt) t+x] f( r) \end{aligned}$$

с $r= [(x-yt)^2+ x^2]^{\frac{1}{2}}$, а затем заменим $t$ на $\ln(r^{-1})$. (т.е. для $r$ получается неявное выражение).

Нам надо, чтобы $\ln(r )f(r ) \to 0$ при $r \to 0$, но $\int f(r )r^{-1}dr =\infty$, и вместо $f(r )=1/\ln (r^{-1} )$ Примера 1 мы возьмем $f(r )=1/( \ln(r^{-1} )\cdot \ln \ln (r^{-1} ) )$.

[Munin]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #939038 писал(а):

Этот: :-)

Спасибо. Теперь знаю.