Предел последовательности

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такой предел

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left ( \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right ) \right )$$

Так как

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left ( \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \right ) = 0$$

и

$$\left | \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right ) \right | \leqslant 1$$

то

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left ( \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right ) \right ) = 0$$

Иначе говоря, произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Верно ли?

Спасибо!

[provincialka]

Верно. Только в оценке синуса модуль поставьте.

[Limit79]

provincialka
Спасибо!

-- 26.11.2014, 23:16 --

И еще маленький вопрос: в данном пределе возникает неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$?

[provincialka]

Ну, как сказать... - да, возникает, и даже два раза (внутри тангенса и внутри синуса). Но весь предел (то есть предел произведения) неопределенностью в чистом виде не является.

[Limit79]

provincialka
Насколько я знаю, при нахождении предела, сначала нужно проверить, есть ли вообще какая-либо неопределенность, и, если она есть, то нужна указать какая именно -- я вот об этом :)

И думаю, какую тут указать неопределенность...

[provincialka]

Пример многоступенчатый. Внутри триг. функций неопределенности есть. Но сами сомножители (второй) не имеют предела. Этот вариант "неопределенностью" не является.

[Limit79]

provincialka
А верно ли в таком случае вот это равенство

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left ( \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right ) \right ) = \lim\limits_{n \to \infty} \left ( \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \right ) \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left ( \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right ) \right ) $$

?

[provincialka]

Нет, неверно. Второй предел не существует. А несуществующее число нельзя ни на что умножать, даже на 0.

[Limit79]

provincialka
Я обновил первый пост, посмотрите, пожалуйста так будет верно?

[provincialka]

Limit79, будьте по-самостоятельнее. Я говорю: "Все хорошо, только добавьте модуль". Вы добавляете модуль и снова спрашиваете: "Так правильно?".
Правильно! Модуль подрисовали в нужном месте. Надеюсь, вы это сделали осмысленно, а не потому, что я вам так посоветовала?

[Limit79]

provincialka
Там еще

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left ( \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right ) \right ) = \lim\limits_{n \to \infty} \left ( \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \right ) \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left ( \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right ) \right ) $$

было.

-- 26.11.2014, 23:58 --

Про модуль да, понятно, забыл просто.

[provincialka]

Ну, я не вглядывалась слишком внимательно. Проста же задачка-то, вы и сложнее решали.

[Limit79]

provincialka

(Оффтоп)

Задачка простая, спору нет. Было интересно, как следует ее аккуратно расписать, дабы не было никаких неточностей (которые на ответ не влияют).

Спасибо за помощь!

[Алексей К.]

Limit79 в сообщении #936568 писал(а):

provincialka
А верно ли в таком случае вот это равенство

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left ( \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right ) \right ) = \lim\limits_{n \to \infty} \left ( \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \right ) \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left ( \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right ) \right ) $$

?

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left ( \tg \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \cdot \sin \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}}\right ) = \lim\limits_{n \to \infty} \tg \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1}\cdot \lim\limits_{n \to \infty}\sin \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} $$

Я тут чисто по каллиграфии вмешиваюсь. Мой вариант, похоже, малость человечнее.

[provincialka]

Алексей К., да, пожалуй. От первоначального варианта в глазах рябит и вчитываться не хочется