2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 22:06 
Здравствуйте!

Есть такой предел $$\lim\limits_{n \to \infty} \left (  \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right )  \right )$$

Так как
$$\lim\limits_{n \to \infty} \left (  \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \right ) = 0$$

и $$\left | \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right ) \right | \leqslant 1$$

то $$\lim\limits_{n \to \infty} \left (  \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right )  \right ) = 0$$

Иначе говоря, произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Верно ли?

Спасибо!

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 22:14 
Аватара пользователя
Верно. Только в оценке синуса модуль поставьте.

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 22:15 
provincialka
Спасибо!

-- 26.11.2014, 23:16 --

И еще маленький вопрос: в данном пределе возникает неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$?

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 22:20 
Аватара пользователя
Ну, как сказать... - да, возникает, и даже два раза (внутри тангенса и внутри синуса). Но весь предел (то есть предел произведения) неопределенностью в чистом виде не является.

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 22:29 
provincialka
Насколько я знаю, при нахождении предела, сначала нужно проверить, есть ли вообще какая-либо неопределенность, и, если она есть, то нужна указать какая именно -- я вот об этом :)

И думаю, какую тут указать неопределенность...

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 22:34 
Аватара пользователя
Пример многоступенчатый. Внутри триг. функций неопределенности есть. Но сами сомножители (второй) не имеют предела. Этот вариант "неопределенностью" не является.

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 22:42 
provincialka
А верно ли в таком случае вот это равенство $$\lim\limits_{n \to \infty} \left (  \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right )  \right ) = \lim\limits_{n \to \infty} \left (  \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right )   \right )   \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left (  \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right )  \right ) $$

?

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 22:46 
Аватара пользователя
Нет, неверно. Второй предел не существует. А несуществующее число нельзя ни на что умножать, даже на 0.

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 22:50 
provincialka
Я обновил первый пост, посмотрите, пожалуйста :| так будет верно?

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 22:53 
Аватара пользователя
Limit79, будьте по-самостоятельнее. Я говорю: "Все хорошо, только добавьте модуль". Вы добавляете модуль и снова спрашиваете: "Так правильно?".
Правильно! Модуль подрисовали в нужном месте. Надеюсь, вы это сделали осмысленно, а не потому, что я вам так посоветовала?

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 22:57 
provincialka
Там еще $$\lim\limits_{n \to \infty} \left (  \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right )  \right ) = \lim\limits_{n \to \infty} \left (  \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right )   \right )   \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left (  \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right )  \right ) $$
было.

-- 26.11.2014, 23:58 --

Про модуль да, понятно, забыл просто.

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 22:59 
Аватара пользователя
Ну, я не вглядывалась слишком внимательно. Проста же задачка-то, вы и сложнее решали.

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 23:02 
provincialka

(Оффтоп)

Задачка простая, спору нет. Было интересно, как следует ее аккуратно расписать, дабы не было никаких неточностей (которые на ответ не влияют).


Спасибо за помощь!

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 23:05 
Limit79 в сообщении #936568 писал(а):
provincialka
А верно ли в таком случае вот это равенство $$\lim\limits_{n \to \infty} \left (  \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right )  \right ) = \lim\limits_{n \to \infty} \left (  \tg \left ( \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \right )   \right )   \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left (  \sin \left ( \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} \right )  \right ) $$?

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left (  \tg \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1} \cdot \sin \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}}\right ) = \lim\limits_{n \to \infty} \tg \frac{\sqrt{5n+3}}{6n+1}\cdot \lim\limits_{n \to \infty}\sin \frac{n^3+6}{\sqrt{3n+4}} $$
Я тут чисто по каллиграфии вмешиваюсь. Мой вариант, похоже, малость человечнее.

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение26.11.2014, 23:07 
Аватара пользователя
Алексей К., да, пожалуй. От первоначального варианта в глазах рябит и вчитываться не хочется :roll:

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group