2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 постоянная Эйлера-Маскерони через определённый интеграл
Сообщение19.11.2014, 16:25 
Почему $$\int\limits_{0}^{\infty}(lnx/e^x)dx=C$$
где C -постоянная Эйлера-Маскерони

 
 
 
 Re: постоянная Эйлера-Маскерони через определённый интеграл
Сообщение19.11.2014, 16:30 
post639980.html#p639980

 
 
 
 Re: постоянная Эйлера-Маскерони через определённый интеграл
Сообщение19.11.2014, 17:13 
Аватара пользователя
Кстати, непосредственное доказательство равенства $\int_0^{+\infty}\ln x\cdot\mathrm e^{-x}\mathrm dx=-\gamma$ (без гамма-функции) можно почитать, например, здесь:
http://terrytao.wordpress.com/2013/12/1 ... -theorems/
(предложение 3). Т.е. пишем:
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n\frac1k&=\int_0^1\frac{(1-t^n)\,\mathrm dt}{1-t}=\int_0^n\frac{\bigl(1-(1-x/n)^n\bigr)\,\mathrm dx}x=\\
&=\int_0^n\left(1-\left(1-\frac xn\right)^n\right)\mathrm d(\ln x)=\ln n-\int_0^n\ln x\cdot\left(1-\frac xn\right)^{n-1}\mathrm dx.
\end{align*}
Осталось перейти к пределу при $n\to\infty$ (например, пользуясь теоремой Лебега о мажорируемой сходимости).

 
 
 
 Re: постоянная Эйлера-Маскерони через определённый интеграл
Сообщение17.10.2018, 19:38 
Аватара пользователя
RIP в сообщении #933422 писал(а):
Кстати, непосредственное доказательство равенства $\int_0^{+\infty}\ln x\cdot\mathrm e^{-x}\mathrm dx=-\gamma$ (без гамма-функции)

Да, элементарно и изящно. А я вот такое сегодня сочинил (до того, как это увидел). Несколько раз по частям
$$
\int\limits_0^{+\infty}\ln x\cdot\mathrm e^{-x}\mathrm dx=\frac{1}{n!}\int\limits_0^{+\infty}x^n\ln x\cdot\mathrm e^{-x}\mathrm dx-\sum_{j=1}^n\frac{1}{j}.
$$
Методом Лапласа $$\int\limits_0^{+\infty}\ln x\cdot\mathrm e^{n\ln x-x}\mathrm dx=\ln ne^{n\ln n-n}\sqrt{2\pi n}\left(1+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)=n!\ln n\left(1+O\left(\frac{1}{n}\right)\right).$$

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group