постоянная Эйлера-Маскерони через определённый интеграл

[IVAN GARAGAN]

Почему

$$\int\limits_{0}^{\infty}(lnx/e^x)dx=C$$

где C -постоянная Эйлера-Маскерони

[12d3]

post639980.html#p639980

[RIP]

Кстати, непосредственное доказательство равенства $\int_0^{+\infty}\ln x\cdot\mathrm e^{-x}\mathrm dx=-\gamma$ (без гамма-функции) можно почитать, например, здесь:
http://terrytao.wordpress.com/2013/12/1 ... -theorems/
(предложение 3). Т.е. пишем:
\begin{align*} \sum_{k=1}^n\frac1k&=\int_0^1\frac{(1-t^n)\,\mathrm dt}{1-t}=\int_0^n\frac{\bigl(1-(1-x/n)^n\bigr)\,\mathrm dx}x=\\ &=\int_0^n\left(1-\left(1-\frac xn\right)^n\right)\mathrm d(\ln x)=\ln n-\int_0^n\ln x\cdot\left(1-\frac xn\right)^{n-1}\mathrm dx. \end{align*}
Осталось перейти к пределу при $n\to\infty$ (например, пользуясь теоремой Лебега о мажорируемой сходимости).

[alcoholist]

RIP в сообщении #933422 писал(а):

Кстати, непосредственное доказательство равенства $\int_0^{+\infty}\ln x\cdot\mathrm e^{-x}\mathrm dx=-\gamma$ (без гамма-функции)

Да, элементарно и изящно. А я вот такое сегодня сочинил (до того, как это увидел). Несколько раз по частям

$$ \int\limits_0^{+\infty}\ln x\cdot\mathrm e^{-x}\mathrm dx=\frac{1}{n!}\int\limits_0^{+\infty}x^n\ln x\cdot\mathrm e^{-x}\mathrm dx-\sum_{j=1}^n\frac{1}{j}. $$

Методом Лапласа

$$\int\limits_0^{+\infty}\ln x\cdot\mathrm e^{n\ln x-x}\mathrm dx=\ln ne^{n\ln n-n}\sqrt{2\pi n}\left(1+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)=n!\ln n\left(1+O\left(\frac{1}{n}\right)\right).$$