2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 постоянная Эйлера-Маскерони через определённый интеграл
Сообщение19.11.2014, 16:25 


18/11/14
20
Почему $$\int\limits_{0}^{\infty}(lnx/e^x)dx=C$$
где C -постоянная Эйлера-Маскерони

 Профиль  
                  
 
 Re: постоянная Эйлера-Маскерони через определённый интеграл
Сообщение19.11.2014, 16:30 
Заслуженный участник


04/03/09
686
post639980.html#p639980

 Профиль  
                  
 
 Re: постоянная Эйлера-Маскерони через определённый интеграл
Сообщение19.11.2014, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3514
Кстати, непосредственное доказательство равенства $\int_0^{+\infty}\ln x\cdot\mathrm e^{-x}\mathrm dx=-\gamma$ (без гамма-функции) можно почитать, например, здесь:
http://terrytao.wordpress.com/2013/12/1 ... -theorems/
(предложение 3). Т.е. пишем:
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n\frac1k&=\int_0^1\frac{(1-t^n)\,\mathrm dt}{1-t}=\int_0^n\frac{\bigl(1-(1-x/n)^n\bigr)\,\mathrm dx}x=\\
&=\int_0^n\left(1-\left(1-\frac xn\right)^n\right)\mathrm d(\ln x)=\ln n-\int_0^n\ln x\cdot\left(1-\frac xn\right)^{n-1}\mathrm dx.
\end{align*}
Осталось перейти к пределу при $n\to\infty$ (например, пользуясь теоремой Лебега о мажорируемой сходимости).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group