Планиметрия. 10.219.

[Charlz_Klug]

Условие:
В окружности $R$ проведены две пересекающиеся перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$. Доказать, что ${AC}^2+{BD}^2=4{R}^2$
Решение:
Проведём диаметр $CF$. Докажем, что $AF=BD$ как хорды, стягивающие равные дуги. Действительно, $\smallsmile AC + \smallsmile BD = 180^{\circ}$ (так как $AB \bot CD$), $\smallsmile AC + \smallsmile AF = 180^{\circ}$ (поскольку $CF$ - диаметр). Следовательно, $\smallsmile AF = \smallsmile BD$ и $AF = BD$. В прямоугольном треугольнике $ACF$ имеем $AC^2 + AF^2 = 4R^2$, откуда и $AC^2 + BD^2 = 4R^2$. Что и требовалось доказать.
Мне непонятен вот этот момент: $\smallsmile AC + \smallsmile BD = 180^{\circ}$ (так как $AB \bot CD$). Это откуда так получается?

[provincialka]

А как выражается угол между хордами через дуги, знаете?

[Charlz_Klug]

provincialka в сообщении #932412 писал(а):

А как выражается угол между хордами через дуги, знаете?

Теперь, благодаря вам, знаю. $\angle CEA = \frac {\angle AOC + \angle BOD} {2}$. Решение понятно. Большое спасибо!