2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Планиметрия. 10.219.
Сообщение17.11.2014, 15:40 
Условие:
В окружности $R$ проведены две пересекающиеся перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$. Доказать, что ${AC}^2+{BD}^2=4{R}^2$
Решение:
Проведём диаметр $CF$. Изображение Докажем, что $AF=BD$ как хорды, стягивающие равные дуги. Действительно, $\smallsmile AC + \smallsmile BD = 180^{\circ}$ (так как $AB \bot CD$), $\smallsmile AC + \smallsmile AF = 180^{\circ}$ (поскольку $CF$ - диаметр). Следовательно, $\smallsmile AF = \smallsmile BD$ и $AF = BD$. В прямоугольном треугольнике $ACF$ имеем $AC^2 + AF^2 = 4R^2$, откуда и $AC^2 + BD^2 = 4R^2$. Что и требовалось доказать.
Мне непонятен вот этот момент: $\smallsmile AC + \smallsmile BD = 180^{\circ}$ (так как $AB \bot CD$). Это откуда так получается?

 
 
 
 Re: Планиметрия. 10.219.
Сообщение17.11.2014, 15:44 
Аватара пользователя
А как выражается угол между хордами через дуги, знаете?

 
 
 
 Re: Планиметрия. 10.219.
Сообщение18.11.2014, 16:08 
provincialka в сообщении #932412 писал(а):
А как выражается угол между хордами через дуги, знаете?

Изображение Теперь, благодаря вам, знаю. $\angle CEA = \frac {\angle AOC + \angle BOD} {2}$. Решение понятно. Большое спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group