2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.
Сообщение18.11.2014, 02:43 
Аватара пользователя
Terraniux в сообщении #932708 писал(а):
Jiggy в сообщении #932702 писал(а):
При $p = 0$ Вообще весь интеграл сходится абсолютно. Пока вот, что сумел сделать)

Предположим, интеграл $\int\limits_{x_0}^{\infty}|\sin x^3|dx$ сходится. Поскольку имеет место оценка $|\sin x^3| \geqslant \sin^2 x^3$, то из сходимости $\int\limits_{x_0}^{\infty}|\sin x^3|dx$ следует сходимость $ \int\limits_{x_0}^{\infty}\sin^2x^3dx   $. Из сходммости последнего интеграла следует сходимость интеграла $\int\limits_{x_0}^{\infty}\cos ^2x^3dx $. Тогда сходится м их сумма, равная $\int\limits_{x_0}^{\infty} dx$, который расходится. Противоречие, следовательно, Исх интеграл расходится.


Да, вы мне очевидно все провернули. Я уже закипаю))

 
 
 
 Re: Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.
Сообщение18.11.2014, 02:49 
Jiggy в сообщении #932709 писал(а):
Да, вы мне очевидно все провернули. Я уже закипаю))

Так ответ уже дан на задачу. При $p \geqslant 1$ сходимости нет, остальное - см. выше.

 
 
 
 Re: Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.
Сообщение18.11.2014, 02:50 
Аватара пользователя
Terraniux в сообщении #932712 писал(а):
Jiggy в сообщении #932709 писал(а):
Да, вы мне очевидно все провернули. Я уже закипаю))

Так ответ уже дан на задачу. Абсолютной сходимости нет, остальное - см. выше.

Так это только при $p = 0$

 
 
 
 Re: Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.
Сообщение18.11.2014, 02:54 
Jiggy в сообщении #932713 писал(а):
ак это только при $p = 0$

При $p>0$ сравните ч интегралом $ \int\limits_{x_0}^{\infty}(\sin x^3 )/x^3 dx$.
При $p<0$ сравните ( при исследовании на абсолютную сходимость) с интегралом $  \int\limits_{x_0}^{\infty} |\sin x^3|dx$.

 
 
 
 Re: Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.
Сообщение18.11.2014, 02:55 
Аватара пользователя
Terraniux в сообщении #932714 писал(а):
Jiggy в сообщении #932713 писал(а):
ак это только при $p = 0$

При $p<0$ сравните ч интегралом $ \int\limits_{x_0}^{\infty}(\sin x^3 )/x^3 dx$.

А как мы от логарифма ушли?

 
 
 
 Re: Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.
Сообщение18.11.2014, 02:58 
Jiggy в сообщении #932715 писал(а):
А как мы от логарифма ушли

См. правленую версию.

 
 
 
 Re: Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.
Сообщение18.11.2014, 03:02 
Аватара пользователя
Terraniux в сообщении #932716 писал(а):
Jiggy в сообщении #932715 писал(а):
А как мы от логарифма ушли

См. правленую версию.


МОжет быть я совсем тупой, но все равно не понял как ушли от логарифма...

 
 
 
 Re: Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.
Сообщение18.11.2014, 03:11 
Jiggy в сообщении #932717 писал(а):
Terraniux в сообщении #932716 писал(а):
Jiggy в сообщении #932715 писал(а):
А как мы от логарифма ушли

См. правленую версию.


МОжет быть я совсем тупой, но все равно не понял как ушли от логарифма...

Вы на условную сходимость исследовали? Исследовали. Теперь исследуемого на абсолютную сходимость.

При p<0:
Сравниваемых с интегралом $   \int\limits_{x_0}^{\infty} |\sin x^3|dx$.
$ |\ln^{-p} x\cdot \sin x^3| > |\sin x^3|$.

При p>0.
Сравниваем с интегралом $  \int\limits_{x_0}^{\infty} |\sin x^3/x^3|dx $.
$  |\sin x^3/ \ln^p x| > |\sin x^3/x^3| $
- это адовый бред.
(За опечатки сорян, пишу с телефона).

 
 
 
 Re: Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.
Сообщение18.11.2014, 03:19 
Terraniux
Не надо решать задачу за ТС. Во-первых, Вы делаете это неверно. А во-вторых, нарушаете Правила форума, и Вам это известно.

 
 
 
 Re: Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.
Сообщение18.11.2014, 03:23 

(Оффтоп)

Lia в сообщении #932721 писал(а):
Во-первых, Вы делаете это неверно

Где неправильно?! :oops:
Отпишите, плиз, можно в личку - я с телефона.


-- 18.11.2014, 03:40 --

Ну, или если рассуждения выше неверны, то можно сделать проще:
Замена$ t = x^3 \Rightarrow x= t^{1/3}, dx=1/3t^{-2/3}dt   $. Приходим к интегралу $1/9 \int\limits_{0}^{\infty}  \dfrac{\sin t}{t^{2/3}\ln^p t} dt$. Который уже легко исследовать и получить ответ.
(Интегал вблизи нуля сходится при любом p, вблизи единицы - при p < 1, на бесконечности - при любом p, только условно (по Абелю-Дирихде). Абсолютной сходимости нет.)

 
 
 
 Re: Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.
Сообщение18.11.2014, 15:24 
Аватара пользователя
Terraniux в сообщении #932723 писал(а):

(Оффтоп)

Lia в сообщении #932721 писал(а):
Во-первых, Вы делаете это неверно

Где неправильно?! :oops:
Отпишите, плиз, можно в личку - я с телефона.


-- 18.11.2014, 03:40 --

Ну, или если рассуждения выше неверны, то можно сделать проще:
Замена$ t = x^3 \Rightarrow x= t^{1/3}, dx=1/3t^{-2/3}dt   $. Приходим к интегралу $1/9 \int\limits_{0}^{\infty}  \dfrac{\sin t}{t^{2/3}\ln^p t} dt$. Который уже легко исследовать и получить ответ.
(Интегал вблизи нуля сходится при любом p, вблизи единицы - при p < 1, на бесконечности - при любом p, только условно (по Абелю-Дирихде). Абсолютной сходимости нет.)


Спасибо большое! В некоторых вещах с вами не согласен, но это я уже сам исправлю. Я все понял. Проблема в том, что я не мог исследовать в точке сходимость. Теперь проблем нет)

 
 
 
 Re: Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.
Сообщение18.11.2014, 15:27 
Аватара пользователя
Jiggy, чтобы "бороться" с логарифмом, используйте неравенство: $1 < \ln x < x^\varepsilon$ для любого $\varepsilon>0$ и достаточно больших $x$

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group