2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 15:22 
Подскажите как доказать, что множество рациональных чисел нельзя представить как счетное пересечение открытых, а точнее то, что если открытое множество содержит все рациональные точки, то его дополнение не более чем счетно. Из этого утверждения очевидным образом следует начальное.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 15:59 
Аватара пользователя
А чем мотивирована такая постановка задачи? не проще ли будет доказывать обратные утверждения?

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 16:05 
Аватара пользователя
Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):
если открытое множество содержит все рациональные точки, то его дополнение не более чем счетно
Это неверно.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 16:31 
Someone
Ну вот( А можно пример?

Задача мотивирована попыткой доказать то, что функцию Дирихле нельзя представить в виде поточечного предела непрерывных функций.

Еще я не знаю как доказать, что пересечение конечного или счетного числа плотных множеств класса $G_\delta$ в полном метрическом пространстве это плотное множество класса $G_\delta$. Из него бы тоже следовало нужное мне утверждение.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 16:36 
Аватара пользователя
Pretty Kitty в сообщении #931859 писал(а):
доказать то, что функцию Дирихле нельзя представить в виде поточечного предела непрерывных функций.
Так очевидным образом можно же ж.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 16:52 
ИСН в сообщении #931862 писал(а):
Pretty Kitty в сообщении #931859 писал(а):
доказать то, что функцию Дирихле нельзя представить в виде поточечного предела непрерывных функций.
Так очевидным образом можно же ж.

А можно этот очевидный пример?

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 17:47 
Аватара пользователя
Ну, там что-нибудь с $\cos(2\pi x n!)$ в большой степени.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 17:52 
ИСН, там двойной предел нужен.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 17:58 
Аватара пользователя
Дополнение до всех иррациональных чисел, цепная дробь которых содержит только $1$ и $2$ (это множество замкнуто).

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 18:26 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #931901 писал(а):
ИСН, там двойной предел нужен.
Расскажите мне, почему не хватит одинарного.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 19:18 
ИСН в сообщении #931910 писал(а):
Расскажите мне, почему не хватит одинарного.
С детства помню, что это так (вики пишет что-то про категории Бэра; неужто врёт?). Честно говоря, сейчас мне этот сюжет откровенно неинтересен. Предлагаю оставить это молодёжи, пусть сама разбирается.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 19:21 
«функция Дирихле»
xmaister в сообщении #668145 писал(а):
Это не простая задача. Её решение можно найти в книге "Бэр, теория разрывных функций" (начиная со стр. 74). Там доказано, что поточечный предел непрерывных функций не может быть всюду разрывен. См. также "Классы Бэра".

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 19:22 
Дополню Someone.
Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):
множество рациональных чисел нельзя представить как счетное пересечение открытых

Это неверно
Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):
если открытое множество содержит все рациональные точки, то его дополнение не более чем счетно

Это неверно.
Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):
Из этого утверждения очевидным образом следует начальное

Только в том смысле, что из неверного утверждения следует все, что угодно.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 19:26 
Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):
множество рациональных чисел нельзя представить как счетное пересечение открытых
Это верно.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 19:31 
Короч, я разобрался.
$G_\delta$ - класс всех множеств, которые можно представить как счетное пересечение открытых. Если $f$ - есть поточечный предел непрерывных функций, то прообраз любого отрезка из $G_\delta$. Если бы Дирихле была представима, то мы имели бы, что и множества рациональных чисел и иррациональных были бы из этого класса. Но по указанному мной выше утверждению их пересечение было бы плотным, что не верно.

Для того, чтобы доказать, что пересечение счетного числа плотных множеств из $G_\delta$ есть плотное множество в полном пространстве, достаточно доказать то же самое для открытых множеств, что просто.

 
 
 [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group