Вероятность ожидания проезда автомобиля

[xolodec]

Каждую секунду с вероятностью $p$ независимо от других моментов времени по дороге проезжает автомобиль. Пешеходу для перехода дороги необходимо 3 секунды, чтобы успеть перейти дорогу. Какова вероятность того, что подошедший к дороге пешеход будет ожидать возможности перехода $n$ секунд ?

Я могу предложить решение для $n=3,4$. Случай $n=5$ уже вызывает у меня затруднения.
Подскажите пожалуйста дорогу к решению.

[statistonline]

Ждет перехода $n$ секунд - значит $n$ секунд проезжают машины. Элементарные вероятности этих событий известны. Осталось составить композцию из $n$ таких событий. Затем для перехода нужна пауза в 3 секунды. Это еще три события вида "машины нет". Их вероятности также известны. Еще одна композиция из них, присоединяйте ее к первой, и готово.

[xolodec]

Можно предположить, что минимальное количество автомобилей, которые могут проехать для осуществления условия задачи (ожидание $n$ секунд) это $floor( \frac{n-2}{3} )$, максимальное, соответственно, $n$. Как бы придумать только, как посчитать все эти способы размещения этих автомобилей по секундам для каждого возможного числа автомобилей.

-- 10.11.2014, 20:25 --

statistonline в сообщении #929291 писал(а):

Ждет перехода $n$ секунд - значит $n$ секунд проезжают машины. Элементарные вероятности этих событий известны. Осталось составить композцию из $n$ таких событий. Затем для перехода нужна пауза в 3 секунды. Это еще три события вида "машины нет". Их вероятности также известны. Еще одна композиция из них, присоединяйте ее к первой, и готово.

Не совсем так, потому что на некоторых секундах машины могут и не ехать. Главное, чтобы количество таких подряд идущих промежутков не превышало 2.

[Evgenjy]

Разбить полое время ожидания на периоды по 3 секунды. В каждый из трехсекундных периодов найти вероятность, что проедет хотя бы одна машина, как событие противоположное тому, сто не проедет не одной. Перемножить эти события. Не забыть учесть хвостик меньший трех секунд, если он есть. Найти вероятность , что за следующие три секунды не проедет ни одной машины.

[venco]

Всё не так.
Найдите вероятности $p_k$, что следующая машина появится в секунду $k$ (от $1$ до $n$). Соответственно с вероятностью $p_k$ придётся подождать $k$ секунд и начать ожидание опять. Дальше, надеюсь, будет ясно, что делать.

[xolodec]

Немного не понял про вероятность появления машины в $k$ секунду $p_k$. При любом $k$, эта вероятность равна указанной в задаче $p$. Разве нет?
Или вы имеете в виду, что для каждого $k$ во все предыдущие секунды машины не приходят ?

[venco]

xolodec в сообщении #929356 писал(а):

Или вы имеете в виду, что для каждого $k$ во все предыдущие секунды машины не приходят ?

Да.

[xolodec]

Такие вероятности распределены по геометрическому распределению и $p_k = q^{k-1} p $.

venco в сообщении #929351 писал(а):

Соответственно с вероятностью $p_k$ придётся подождать $k$ секунд и начать ожидание опять.

если $k > 3$ в начальный период времени, то ждать не придется. И для каждого момента, если есть промежуток в 3 секунды, то ждать не придется.
соответственно для первого промежутка $p_1 + p_2 + p_3$. Однако дальше нужно рассматривать в зависимости от того, когда пришла предыдущая машина.


то есть $p_1(p_1 + p_2 + p_3) + p_2( p_1 + p_2 + p_3) + p_3(p_1 + p_2 + p_3) $ и дальше также все более расходящимся деревом.
Получается что-то вроде:

$$P = p_1 ^n + p_1^{n-1} p_2 + p_1^{n-1} p_3 + ... = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i p_1^{n-i} p_2^{i-j} p_3^{j} $$

У меня есть ощущение, что я неправильно Вас понял. Мне не понятна фраза

venco в сообщении #929351 писал(а):

Соответственно с вероятностью $p_k$ придётся подождать $k$ секунд и начать ожидание опять.

Возможно из-за этого, я не могу встать на дорогу, предложенную Вами. Нам не придется ждать $k$ секунд, если $k>3$.

[--mS--]

Например, составьте рекуррентное соотношение на вероятности $p_n$ того, что придётся ждать $n$ секунд. Как только проходит машина, начинать ждать приходится заново. Примерно это и имеет в виду venco.

[Evgenjy]

--mS-- в сообщении #929610 писал(а):

Например, составьте рекуррентное соотношение на вероятности $p_n$ того, что придётся ждать $n$ секунд.

Вот только характеристичесое уравнение этой рекуррентной последовательности
$\lambda^3-p\lambda^2-(2-p)p(1-p)=0$
ничего хорошего не дает.

[TOTAL]

xolodec в сообщении #929273 писал(а):

Каждую секунду с вероятностью $p$ независимо от других моментов времени по дороге проезжает автомобиль. Пешеходу для перехода дороги необходимо 3 секунды, чтобы успеть перейти дорогу. Какова вероятность того, что подошедший к дороге пешеход будет ожидать возможности перехода $n$ секунд ?

Откуда пешеход узнает, что имеется возможность перехода? Сколько бы он ни ждал, отсутствие автомобиля не гарантировано.

[Evgenjy]

TOTAL в сообщении #929621 писал(а):

Откуда пешеход узнает, что имеется возможность перехода?

При переходе улицы посмотри налево (а будучи в Англии или Японии - направо).

[TOTAL]

Evgenjy в сообщении #929624 писал(а):

TOTAL в сообщении #929621 писал(а):

Откуда пешеход узнает, что имеется возможность перехода?

При переходе улицы посмотри налево (а будучи в Англии или Японии - направо).

Как это смотрение налево связано с условием задачи?

[Александрович]

TOTAL в сообщении #929621 писал(а):

xolodec в сообщении #929273 писал(а):

Каждую секунду с вероятностью $p$ независимо от других моментов времени по дороге проезжает автомобиль. Пешеходу для перехода дороги необходимо 3 секунды, чтобы успеть перейти дорогу. Какова вероятность того, что подошедший к дороге пешеход будет ожидать возможности перехода $n$ секунд ?

Откуда пешеход узнает, что имеется возможность перехода? Сколько бы он ни ждал, отсутствие автомобиля не гарантировано.

При скорости 60 км/ч если пешеход не обнаруживает автомобиля ближе 50 м, он за 3 с успевает перейти дорогу.

[--mS--]

Evgenjy в сообщении #929620 писал(а):

Вот только характеристичесое уравнение этой рекуррентной последовательности
$\lambda^3-p\lambda^2-(2-p)p(1-p)=0$
ничего хорошего не дает.

Вы $\lambda$ потеряли. Хотя хорошего, конечно, не даст. А Вы ожидали, что при произвольном $n$ будет простой ответ?