2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение10.11.2014, 19:02 


29/04/14
139
Каждую секунду с вероятностью $p$ независимо от других моментов времени по дороге проезжает автомобиль. Пешеходу для перехода дороги необходимо 3 секунды, чтобы успеть перейти дорогу. Какова вероятность того, что подошедший к дороге пешеход будет ожидать возможности перехода $n$ секунд ?

Я могу предложить решение для $n=3,4$. Случай $n=5$ уже вызывает у меня затруднения.
Подскажите пожалуйста дорогу к решению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение10.11.2014, 19:22 


06/09/12
890
Ждет перехода $n$ секунд - значит $n$ секунд проезжают машины. Элементарные вероятности этих событий известны. Осталось составить композцию из $n$ таких событий. Затем для перехода нужна пауза в 3 секунды. Это еще три события вида "машины нет". Их вероятности также известны. Еще одна композиция из них, присоединяйте ее к первой, и готово.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение10.11.2014, 19:23 


29/04/14
139
Можно предположить, что минимальное количество автомобилей, которые могут проехать для осуществления условия задачи (ожидание $n$ секунд) это $floor( \frac{n-2}{3} )$, максимальное, соответственно, $n$. Как бы придумать только, как посчитать все эти способы размещения этих автомобилей по секундам для каждого возможного числа автомобилей.

-- 10.11.2014, 20:25 --

statistonline в сообщении #929291 писал(а):
Ждет перехода $n$ секунд - значит $n$ секунд проезжают машины. Элементарные вероятности этих событий известны. Осталось составить композцию из $n$ таких событий. Затем для перехода нужна пауза в 3 секунды. Это еще три события вида "машины нет". Их вероятности также известны. Еще одна композиция из них, присоединяйте ее к первой, и готово.


Не совсем так, потому что на некоторых секундах машины могут и не ехать. Главное, чтобы количество таких подряд идущих промежутков не превышало 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение10.11.2014, 19:44 


13/08/14
349
Разбить полое время ожидания на периоды по 3 секунды. В каждый из трехсекундных периодов найти вероятность, что проедет хотя бы одна машина, как событие противоположное тому, сто не проедет не одной. Перемножить эти события. Не забыть учесть хвостик меньший трех секунд, если он есть. Найти вероятность , что за следующие три секунды не проедет ни одной машины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение10.11.2014, 20:37 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Всё не так.
Найдите вероятности $p_k$, что следующая машина появится в секунду $k$ (от $1$ до $n$). Соответственно с вероятностью $p_k$ придётся подождать $k$ секунд и начать ожидание опять. Дальше, надеюсь, будет ясно, что делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение10.11.2014, 20:53 


29/04/14
139
Немного не понял про вероятность появления машины в $k$ секунду $p_k$. При любом $k$, эта вероятность равна указанной в задаче $p$. Разве нет?
Или вы имеете в виду, что для каждого $k$ во все предыдущие секунды машины не приходят ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение10.11.2014, 21:12 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
xolodec в сообщении #929356 писал(а):
Или вы имеете в виду, что для каждого $k$ во все предыдущие секунды машины не приходят ?
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение11.11.2014, 07:56 


29/04/14
139
Такие вероятности распределены по геометрическому распределению и $p_k =  q^{k-1} p $.
venco в сообщении #929351 писал(а):
Соответственно с вероятностью $p_k$ придётся подождать $k$ секунд и начать ожидание опять.

если $k > 3$ в начальный период времени, то ждать не придется. И для каждого момента, если есть промежуток в 3 секунды, то ждать не придется.
соответственно для первого промежутка $p_1 + p_2 + p_3$. Однако дальше нужно рассматривать в зависимости от того, когда пришла предыдущая машина.


то есть $p_1(p_1 + p_2 + p_3) + p_2( p_1 + p_2 + p_3) + p_3(p_1 + p_2 + p_3) $ и дальше также все более расходящимся деревом.
Получается что-то вроде:
$$P = p_1 ^n +  p_1^{n-1} p_2  + p_1^{n-1} p_3 + ... = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i  p_1^{n-i} p_2^{i-j} p_3^{j} $$

У меня есть ощущение, что я неправильно Вас понял. Мне не понятна фраза
venco в сообщении #929351 писал(а):
Соответственно с вероятностью $p_k$ придётся подождать $k$ секунд и начать ожидание опять.


Возможно из-за этого, я не могу встать на дорогу, предложенную Вами. Нам не придется ждать $k$ секунд, если $k>3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение11.11.2014, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Например, составьте рекуррентное соотношение на вероятности $p_n$ того, что придётся ждать $n$ секунд. Как только проходит машина, начинать ждать приходится заново. Примерно это и имеет в виду venco.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение11.11.2014, 11:07 


13/08/14
349
--mS-- в сообщении #929610 писал(а):
Например, составьте рекуррентное соотношение на вероятности $p_n$ того, что придётся ждать $n$ секунд.

Вот только характеристичесое уравнение этой рекуррентной последовательности
$\lambda^3-p\lambda^2-(2-p)p(1-p)=0$
ничего хорошего не дает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение11.11.2014, 11:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
xolodec в сообщении #929273 писал(а):
Каждую секунду с вероятностью $p$ независимо от других моментов времени по дороге проезжает автомобиль. Пешеходу для перехода дороги необходимо 3 секунды, чтобы успеть перейти дорогу. Какова вероятность того, что подошедший к дороге пешеход будет ожидать возможности перехода $n$ секунд ?
Откуда пешеход узнает, что имеется возможность перехода? Сколько бы он ни ждал, отсутствие автомобиля не гарантировано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение11.11.2014, 11:24 


13/08/14
349
TOTAL в сообщении #929621 писал(а):
Откуда пешеход узнает, что имеется возможность перехода?

При переходе улицы посмотри налево (а будучи в Англии или Японии - направо).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение11.11.2014, 11:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Evgenjy в сообщении #929624 писал(а):
TOTAL в сообщении #929621 писал(а):
Откуда пешеход узнает, что имеется возможность перехода?
При переходе улицы посмотри налево (а будучи в Англии или Японии - направо).
Как это смотрение налево связано с условием задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение11.11.2014, 12:47 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
TOTAL в сообщении #929621 писал(а):
xolodec в сообщении #929273 писал(а):
Каждую секунду с вероятностью $p$ независимо от других моментов времени по дороге проезжает автомобиль. Пешеходу для перехода дороги необходимо 3 секунды, чтобы успеть перейти дорогу. Какова вероятность того, что подошедший к дороге пешеход будет ожидать возможности перехода $n$ секунд ?
Откуда пешеход узнает, что имеется возможность перехода? Сколько бы он ни ждал, отсутствие автомобиля не гарантировано.

При скорости 60 км/ч если пешеход не обнаруживает автомобиля ближе 50 м, он за 3 с успевает перейти дорогу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность ожидания проезда автомобиля
Сообщение11.11.2014, 20:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Evgenjy в сообщении #929620 писал(а):
Вот только характеристичесое уравнение этой рекуррентной последовательности
$\lambda^3-p\lambda^2-(2-p)p(1-p)=0$
ничего хорошего не дает.

Вы $\lambda$ потеряли. Хотя хорошего, конечно, не даст. А Вы ожидали, что при произвольном $n$ будет простой ответ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group