2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Формула для числа сочетаний, на пальцах.
Сообщение04.11.2014, 19:44 


04/03/14
194
Как доказать, что $C_{n+1}^{k+1}=C_n^k+C_n^{k+1}$, не используя формулу для $C_n^k$? (как используя формулу это сделать -- знаю)

Почему число способов выбрать из $n+1$ предмета ровно $k+1$ равно сумме числа способов из $n$ выбрать $k$ и числа способов из $n$ выбрать $k+1$?

-- 04.11.2014, 20:46 --

Кстати, а как саму формулу $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ можно объяснить на пальцах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для числа сочетаний, на пальцах.
Сообщение04.11.2014, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Возьмем один предмет и выделим его. Первое слагаемое справа отвечает ситуации, когда этот предмет попадает в группу выбранных, а второе слагаемое - когда он не выбран.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для числа сочетаний, на пальцах.
Сообщение04.11.2014, 19:53 


04/03/14
194
Brukvalub в сообщении #926572 писал(а):
Возьмем один предмет и выделим его. Первое слагаемое справа отвечает ситуации, когда этот предмет попадает в группу выбранных, а второе слагаемое - когда он не выбран.

А почему первое справа -- когда попадает в группу выбранных? Ведь там из $n$ предметов выбирается $k$, то есть из невыбранных предметов формируется число... Или не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для числа сочетаний, на пальцах.
Сообщение04.11.2014, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Выделенный элемент считается заранее выбранным, добираются оставшиеся элементы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для числа сочетаний, на пальцах.
Сообщение04.11.2014, 20:12 


04/11/14
6
На счет объяснения на пальцах :
Представим что у нас есть $k$ предметов и $n$ свободных мест. Тогда разместить первый предмет мы сможем $n$ способами, второй - $n-1$, третий - $n-2$, ... $k$-й - $n-k+1$. Получаем $ N = n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1) $ ; для удобства эту формулу представляют в виде $\frac{n!}{(n-k)!}$ , полагаю, вам она известна, это формула размещения из n элементов по k. Чем размещение отличается от сочетания? Тем что элементы сочетания неразличимы т.е. если мы поменяем любые из символов местами это будет тот же способ, что и прежде. Количество способов перестановки $k$ элементов между собой равно $k!$ ,отсюда и получаем формулу $C_n^k = \frac{n!}{(n-k)!k!}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для числа сочетаний, на пальцах.
Сообщение04.11.2014, 20:19 


20/03/14
12041
 !  Ratix
Оформляйте все формулы.

(Оффтоп)

Ratix в сообщении #926595 писал(а):
k предметов

Ratix в сообщении #926595 писал(а):
n свободных

Ratix в сообщении #926595 писал(а):
n-1, третий - n-2, ... k-й - n-k+1.

и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для числа сочетаний, на пальцах.
Сообщение04.11.2014, 21:36 


04/03/14
194
Ratix в сообщении #926595 писал(а):
На счет объяснения на пальцах :
Представим что у нас есть $k$ предметов и $n$ свободных мест. Тогда разместить первый предмет мы сможем $n$ способами, второй - $n-1$, третий - $n-2$, ... $k$-й - $n-k+1$. Получаем $ N = n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1) $ ; для удобства эту формулу представляют в виде $\frac{n!}{(n-k)!}$ , полагаю, вам она известна, это формула размещения из n элементов по k. Чем размещение отличается от сочетания? Тем что элементы сочетания неразличимы т.е. если мы поменяем любые из символов местами это будет тот же способ, что и прежде. Количество способов перестановки $k$ элементов между собой равно $k!$ ,отсюда и получаем формулу $C_n^k = \frac{n!}{(n-k)!k!}$

Спасибо, понятно!

-- 04.11.2014, 22:39 --

Don-Don в сообщении #926577 писал(а):
Brukvalub в сообщении #926572 писал(а):
Возьмем один предмет и выделим его. Первое слагаемое справа отвечает ситуации, когда этот предмет попадает в группу выбранных, а второе слагаемое - когда он не выбран.

А почему первое справа -- когда попадает в группу выбранных? Ведь там из $n$ предметов выбирается $k$, то есть из невыбранных предметов формируется число... Или не так?

Хорошо, но можно по-подробнее, что-то все равно не понимаю. $C_n^{k+1}$ отвечает ситуации, когда предмет попадает в группу избранных, но как отвечает, почему именно $C_n^{k+1}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для числа сочетаний, на пальцах.
Сообщение05.11.2014, 02:56 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Попробуйте таки на кой-нить вопрос ответить.
Вот у нас есть $n+1$ предметов — $a_1,\dots,a_{n+1}$. Сколько есть вариантов выбрать $k+1$ предметов при условии, что $a_{n+1}$ входит в выбранные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для числа сочетаний, на пальцах.
Сообщение05.11.2014, 08:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Don-Don в сообщении #926570 писал(а):
Как доказать, что $C_{n+1}^{k+1}=C_n^k+C_n^{k+1}$, не используя формулу для $C_n^k$?

Помимо того, что $C_n^k$ -- это сочетания, это ещё и биномиальные коэффициенты. Т.е. в разложении $(x+1)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^kx^k 1^{n-k}$ коэффициенты разложения -- это количества сочетаний независимо ни от каких факториалов. Теперь умножьте это разложение на $(x+1)$, раскройте скобки и приведите подобные; ровно то рекуррентное соотношение и получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для числа сочетаний, на пальцах.
Сообщение05.11.2014, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Don-Don в сообщении #926577 писал(а):
Brukvalub в сообщении #926572 писал(а):
Возьмем один предмет и выделим его. Первое слагаемое справа отвечает ситуации, когда этот предмет попадает в группу выбранных, а второе слагаемое - когда он не выбран.

Хорошо, но можно по-подробнее, что-то все равно не понимаю. $C_n^{k+1}$ отвечает ситуации, когда предмет попадает в группу избранных, но как отвечает, почему именно $C_n^{k+1}$?

Вы перепутали слагаемые. За ситуацию, когда выделенный предмет попадает в группу избранных, отвечает слагаемое $C_n^{k}$, поскольку из оставшихся $n$ предметов осталось выбрать $k$ штук.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для числа сочетаний, на пальцах.
Сообщение05.11.2014, 23:31 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
(Если вдруг предыдущего недостаточно.)

Для наглядности можно нарисовать все сочетания из, скажем, 4 по 2 (колонка 1; o — предмет входит в сочетание, — нет):

Код:
   1           2          3

o o ⋅ ⋅      o ⋅ ⋅
o ⋅ o ⋅      ⋅ o ⋅
o ⋅ ⋅ o      ⋅ ⋅ o
⋅ o o ⋅                 o o ⋅
⋅ o ⋅ o                 o ⋅ o
⋅ ⋅ o o                 ⋅ o o

из 4 по 2   из 3 по 1  из 3 по 2

Мы можем получить их, выбирая или не выбирая первый элемент, и взяв сочетания из оставшихся предметов (на 1 меньше) по оставшееся количество. В случае выбора элемента эти сочетания (2) — по меньшее на 1 количество, а в случае невыбора (3) — по то же.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group