2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Разложение в ряд Тейлора
Сообщение02.11.2014, 21:16 
Разложить функцию
$f(x) = \frac{1}{x^2+2x+4}$
в ряд Тейлора в точке $x = 0$. Чему равна производная $f^{2013}(0)$? Найти радиус сходимости полученного степенного ряда и исследовать ряд на сходимость в концевых точках интервала сходимости.
Не могу разложить функцию в ряд Тейлора. Пытался брать производные, но не смог увидеть никаких закономерностей, пробовал исследовать на четность-нечетность. Что делают в таких случаях?

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение02.11.2014, 21:26 
На сумму простейших разложите.

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение02.11.2014, 21:40 
Так дискриминант меньше нуля, куда дальше то раскладывать?

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение02.11.2014, 21:49 
Над полем комплексных чисел.

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение02.11.2014, 22:56 
То есть нужно разбить на простейшие, для каждой дроби отдельно найти разложение, сложить и взять вещественную часть?

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение02.11.2014, 23:01 
Не поняла, зачем брать вещественную часть. Какая из процедур (разложение в ряд, сложение двух рядов) не гарантирует равенства промежуточных результатов исходной функции?

Найти разложение, осознать, почему коэффициенты результата вещественны, упростить в идеале.

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение02.11.2014, 23:10 
Ладно этим способом я порешаю, но может быть есть способ без использования комплексных чисел, так как задача вроде как из вещественного анализа.

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение02.11.2014, 23:17 
Сильно не рекомендую думать в ту сторону. Хотя не запретишь, конечно. :-)
Как бы то ни было, то, что задача сугубо комплексная по сути, факт - об этом свидетельствует, в частности, то, что область сходимости этого ряда Тейлора может быть наглядно объяснена только при выходе в комплексную плоскость.

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение02.11.2014, 23:18 
Аватара пользователя
Slow в сообщении #925642 писал(а):
но может быть есть способ без использования комплексных чисел

Решить с использованием, записать ответ, остальное сжечь, сказать "бог надоумил".

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение03.11.2014, 00:48 
Итак:
$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{3}}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{-x}{2})^n \sin{((n+1)\frac{\pi}{3})}$
Радиус сходимости: $|x|<2$
$f^{2013}(0) = 0$

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение03.11.2014, 01:01 
Ряд такой, радиус сходимости все-тки число, а вот производная почему нулевая, непонятно.

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение03.11.2014, 01:50 
Тьфу ты, там же $n+1$ стоит, так что там $\frac{1}{2^{2015}}$ вроде как.

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение03.11.2014, 01:59 
Ага, только это коэффициент при нужной степени. А производная это все ж таки не совсем коэффициент.

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение03.11.2014, 02:52 
Итак, окончательный вариант:$\frac{2013!}{2^{2015}}$.

 
 
 
 Re: Разложение в ряд Тейлора
Сообщение03.11.2014, 02:59 
Ура.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group