Разложение в ряд Тейлора

[Slow]

Разложить функцию
$f(x) = \frac{1}{x^2+2x+4}$
в ряд Тейлора в точке $x = 0$. Чему равна производная $f^{2013}(0)$? Найти радиус сходимости полученного степенного ряда и исследовать ряд на сходимость в концевых точках интервала сходимости.
Не могу разложить функцию в ряд Тейлора. Пытался брать производные, но не смог увидеть никаких закономерностей, пробовал исследовать на четность-нечетность. Что делают в таких случаях?

[Otta]

На сумму простейших разложите.

[Slow]

Так дискриминант меньше нуля, куда дальше то раскладывать?

[Otta]

Над полем комплексных чисел.

[Slow]

То есть нужно разбить на простейшие, для каждой дроби отдельно найти разложение, сложить и взять вещественную часть?

[Otta]

Не поняла, зачем брать вещественную часть. Какая из процедур (разложение в ряд, сложение двух рядов) не гарантирует равенства промежуточных результатов исходной функции?

Найти разложение, осознать, почему коэффициенты результата вещественны, упростить в идеале.

[Slow]

Ладно этим способом я порешаю, но может быть есть способ без использования комплексных чисел, так как задача вроде как из вещественного анализа.

[Otta]

Сильно не рекомендую думать в ту сторону. Хотя не запретишь, конечно.
Как бы то ни было, то, что задача сугубо комплексная по сути, факт - об этом свидетельствует, в частности, то, что область сходимости этого ряда Тейлора может быть наглядно объяснена только при выходе в комплексную плоскость.

[ИСН]

Slow в сообщении #925642 писал(а):

но может быть есть способ без использования комплексных чисел

Решить с использованием, записать ответ, остальное сжечь, сказать "бог надоумил".

[Slow]

Итак:
$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{3}}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{-x}{2})^n \sin{((n+1)\frac{\pi}{3})}$
Радиус сходимости: $|x|<2$
$f^{2013}(0) = 0$

[Otta]

Ряд такой, радиус сходимости все-тки число, а вот производная почему нулевая, непонятно.

[Slow]

Тьфу ты, там же $n+1$ стоит, так что там $\frac{1}{2^{2015}}$ вроде как.

[Otta]

Ага, только это коэффициент при нужной степени. А производная это все ж таки не совсем коэффициент.

[Slow]

Итак, окончательный вариант:$\frac{2013!}{2^{2015}}$.

[Otta]

Ура.