Предел последовательности

[veez]

Здравствуйте! Подскажите пожалуйста, как вторая строка преобразуется в третью.
Заранее спасибо.

.... $= \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{10n-3}{2}\right)}\right)^{-5n}= = \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{10n-3}{2}\right)}\right)^{\left(\frac{10n-3}{2}\right)\left(\frac{2}{10n-3}\right)(-5n)}= = \left(\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{10n-3}{2}\right)}\right)^{\left(\frac{10n-3}{2}\right)}\right)^{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{2}{10n-3}\right)(-5n)}=$ ....

[ewert]

veez в сообщении #924766 писал(а):

Подскажите пожалуйста, как вторая строка преобразуется в третью.

Согласно некоторому довольно-таки жульническому приёму: здесь неявно используется тот факт, что функция $x^y$ непрерывна по совокупности переменных, хотя никаких функций нескольких переменных на этот момент ещё и в помине нет.

Другой вариант оформления этого же решения существенно более честен: прологарифмировать перед вычислением предела. Правда, и здесь не без жульничества: используются непрерывность логарифма и экспоненты, а понятия непрерывности-то, скорее всего, пока что тоже нет. Однако этот вариант жульничества всё-таки гораздо мягче.

(пардон, используется непрерывность только экспоненты, но не логарифма, так что всё ещё мягче; однако осадок всё-таки остаётся)

[Shtorm]

ewert в сообщении #924853 писал(а):

функция $x^y$ непрерывна по совокупности переменных, хотя никаких функций нескольких переменных на этот момент ещё и в помине нет.

Можно рассматривать не как функцию двух переменных, а как показательно-степенную функцию одной переменной $n$.

[ewert]

Shtorm в сообщении #924859 писал(а):

Можно рассматривать не как функцию двух переменных, а как показательно-степенную функцию одной переменной $n$.

Нет, практически не можно: это уже после подстановки она будет одной, но изначально-то -- двух, и вот на свойства именно этой двумерной функции формально и приходится ссылаться. Предварительное логарифмирование снимает хотя бы эту проблему.

Но это я вовсе не к тому, конечно, что сей метод надобно запретить. Просто следует отдавать себе отчёт в том, что пока что этот приём -- жульнический.