Общее решение уравнения с частными производными первого порядка общего вида

сводится к интегралу некоторой системы оду.
Технику этого дела можно глянуть, например, в Куранте (Р.Курант, Д.Гильберт. Методы математической физики. Том II. Мир 1964. В сети есть, если что, читать надо 71 стр. и дальше).
Конкретно для уравнения, про которое шла речь, я это общее решение выписал.