2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение27.10.2014, 14:36 
Аватара пользователя
На этот раз совсем простое УРЧП на функцию $g(x,y)$:
$g_{xx} g_{yy} - g_{xy}^2=0.$

Легко угадывается решение: $g(x,y) = F(C_1 x + C_2 y)$.
А что-нибудь еще? :-)

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение27.10.2014, 15:50 
Аватара пользователя
Если не считать особых случаев, это же равносильно $g_x=\psi(g_y)$ с произвольной функцией $\psi$.

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение27.10.2014, 16:19 
Аватара пользователя
Вы ищете поверхности с нулевой гауссовой кривизной. Годятся цилиндры любого профиля, а вот есть ли что-то ещё... :roll: :roll:

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение28.10.2014, 17:25 
Аватара пользователя
пианист в сообщении #923497 писал(а):
Если не считать особых случаев, это же равносильно $g_x=\psi(g_y)$ с произвольной функцией $\psi$.

Возьмем простейший нетривиальный случай: $g_x = (g_y)^2$.
Что-нибудь хорошее про него можно придумать? :roll:

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение28.10.2014, 18:10 
Аватара пользователя
$g=-{y^2\over4x}$, например.
:shock:
Да, есть.

-- менее минуты назад --

А! Ну что за глупости я несу. Точно так же, как любые цилиндры, годятся любые конусы и ещё куча барахла.

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение28.10.2014, 19:52 
Аватара пользователя
Не ну понятно, что можно построить решение методом разделения переменных :-)
В общем-то ввиду нетривиальности группы точечных симметрий этого уравнения (алгебра Ли которой 10-мерна), можно, если повезет, построить решение зависящее от 10 произвольных констант.

А вот нечто более общее? :roll:

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение28.10.2014, 20:00 
Аватара пользователя
DLL
Не совсем понял. Для учп первого порядка есть общее решение - оно чем-то не устраивает?

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение29.10.2014, 07:11 
Аватара пользователя
Правду сказать, в данном конкретном случае общее решение радости не доставляет:
$$
\begin{cases}
y=\mu-x\psi'(\varphi'(\mu)),\\
g=\varphi(\mu)+x(\psi(\varphi'(\mu))-\varphi'(\mu)\psi'(\varphi'(\mu))),
\end{cases}
$$
$\varphi$ - произвольная функция, $\mu$ - параметр.
Даже просто подстановка в уравнение с целью убедиться, что это действительно решение, требует некоторых усилий.
Наверное, можно его компактнее записать, но не знаю, как.

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение29.10.2014, 09:40 
Аватара пользователя
пианист в сообщении #923864 писал(а):
DLL
Не совсем понял. Для учп первого порядка есть общее решение - оно чем-то не устраивает?

Можете этот момент пояснить? :roll:

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение29.10.2014, 11:07 
Аватара пользователя
Общее решение уравнения с частными производными первого порядка общего вида
$H(x_1,x_2,...,x_n,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},...,\frac{\partial u}{\partial x_n})=0$
сводится к интегралу некоторой системы оду.
Технику этого дела можно глянуть, например, в Куранте (Р.Курант, Д.Гильберт. Методы математической физики. Том II. Мир 1964. В сети есть, если что, читать надо 71 стр. и дальше).
Конкретно для уравнения, про которое шла речь, я это общее решение выписал.

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение29.10.2014, 20:44 
Аватара пользователя
Спасибо!

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение03.11.2014, 17:43 
Аватара пользователя
Интересно, трактовка этого уравнения как поверхности с нулевой гауссовой кривизной.
По-видимому этот вопрос изучали. Может есть ответ в каких-то обозримых терминах.
Вот например есть статья: http://projecteuclid.org/download/pdf_1 ... 1178244205
P.S: там имеется теорема: A complete surface of Gaussian curvature 0 in Euclidean 3-space is a cylinder, там правда есть существенно "hypothesis of completeness", а меня интересуют с большего решение исходного уравнение локально...

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение03.01.2015, 15:55 
Аватара пользователя
пианист в сообщении #924005 писал(а):
Правду сказать, в данном конкретном случае общее решение радости не доставляет:
$$
\begin{cases}
y=\mu-x\psi'(\varphi'(\mu)),\\
g=\varphi(\mu)+x(\psi(\varphi'(\mu))-\varphi'(\mu)\psi'(\varphi'(\mu))),
\end{cases}
$$
$\varphi$ - произвольная функция, $\mu$ - параметр.
Даже просто подстановка в уравнение с целью убедиться, что это действительно решение, требует некоторых усилий.
Наверное, можно его компактнее записать, но не знаю, как.

Интересно. Относительно $x, y$ исходное уравнение симметрично.
А в общем решении присутствует некая асимметрия :roll:

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение04.01.2015, 19:33 
Аватара пользователя
Дык я же порушил симметрию, уже когда положил $g_x=\psi(g_y)$, а не наоборот.
Да и когда решаешь учппп, там надо выбирать, где задавать начальные условия - очень, я бы сказал, не-эстетичная процедура.
По идее, решение должно записываться в симметричном виде, да.

 
 
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение05.01.2015, 23:57 
Аватара пользователя
А вот кстати есть интересная теорема (Corrollary 3'), по ней поверхность с нулевой гауссовой кривизной локально можно представить в следующем виде:
$g = a_1(u)v + b_1(u)$
$s = a_2(u)v + b_2(u)$
$t = a_3(u)v + b_3(u)$

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group