Найти произведение рядов

[main.c]

$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} \sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n!}$
Оба ряда абсолютно сходятся, значит остаётся только найти их суммы и перемножить.
Сразу предупреждаю, что тут пользоваться разложением в ряд Тейлора нельзя, так как к этому моменту степенные ряды ещё не пройдены.
1 ряд:
$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}$
Я смутно припоминаю, что я где-то читал, про нахождение суммы такого ряда, там вроде как-то использовали 2 замечательный предел, но я совершенно не помню, где я это находил и что конкретно там делалось. Просьба подсказать хотя бы начало рассуждений.

[ИСН]

Вы себе противоречите. Если ряды не пройдены, то их не нужно находить по отдельности. Так-то найти можно: это ряд для экспоненты, левая сумма равна $e$, правая - $1/e$, бумажку сжечь, сказать "бог надоумил". Этого не нужно, нет. Перемножайте в лоб и переходите к суммированию по диагонали.

[ewert]

main.c в сообщении #923410 писал(а):

$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} \sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n!}$

Во-первых, так писать нельзя: если две суммы присутствуют в одном и том же выражении, то переменные суммирования должны обозначаться разными буквами. Во-вторых, затем поменяйте порядок суммирования, взяв в качестве внешней сумму по новой переменной $m=n+k$, а в качестве внутренней (т.е. при фиксированном $m$) одну из старых; скажем, $n$. В-третьих, после этого достаточно будет вспомнить про бином Ньютона.

-- Пн окт 27, 2014 12:31:47 --

ИСН в сообщении #923413 писал(а):

Если ряды не пройдены,

Степенные ряды не пройдены, и это ничему не противоречит.

[main.c]

ewert в сообщении #923414 писал(а):

Во-первых, так писать нельзя: если две суммы присутствуют в одном и том же выражении, то переменные суммирования должны обозначаться разными буквами.

Хмм, а в учебнике именно так и написано, наверное опечатка.

ewert в сообщении #923414 писал(а):

Во-вторых, затем поменяйте порядок суммирования, взяв в качестве внешней сумму по новой переменной $m=n+k$, а в качестве внутренней (т.е. при фиксированном $m$) одну из старых; скажем, $n$.

Вот тут мне совершенно не ясно, что Вы имели ввиду.

ewert в сообщении #923414 писал(а):

В-третьих, после этого достаточно будет вспомнить про бином Ньютона.

Вспомню, если разберусь с "Во-вторых"

[ИСН]

Это то же самое, что я говорю:

ИСН в сообщении #923413 писал(а):

Перемножайте в лоб и переходите к суммированию по диагонали.

[Otta]

Или, что то же самое:
произведение рядов. Формула есть. Применяйте. (Или учитесь перемножать сами, ручками).

[main.c]

Otta в сообщении #923422 писал(а):

Или, что то же самое:
произведение рядов. Формула есть. Применяйте. (Или учитесь перемножать сами, ручками).

Сумма их произведения равна сумме ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n$, где $c_n = a_0b_n + ... + a_nb_0$, так же я вывел такие вот формулы:
$c_n = 0$, при нечётном $n$.
$c_0 = a_0b_0$
$c_n = 2(a_0b_n + ... + a_{k-1}b_{n-k+1}) + a_{k}b_{k}$, при чётном $n > 0, \ k = n/2$.
Там кучу факториалов, я не понимаю, как мне дальше с ними бороться.

[ewert]

main.c в сообщении #923425 писал(а):

$\sum\limits_{n=0}^\infty c_n$, где $c_n = a_1b_n + ... + a_nb_1$

С индексами справа непорядок.

main.c в сообщении #923425 писал(а):

$c_n = 2(a_0b_n + ... + a_{k-1}b_{n-k+1}) + a_{k}b_{k}$, при чётном $n, \ k = n/2$.

А вот здесь предыдущее исправлено, но: даже если это и правда (лень проверять), то совершенно не нужно.

main.c в сообщении #923425 писал(а):

Там кучу факториалов, я не понимаю, как мне дальше с ними бороться.

ewert в сообщении #923414 писал(а):

достаточно будет вспомнить про бином Ньютона.

main.c в сообщении #923418 писал(а):

Хмм, а в учебнике именно так и написано, наверное опечатка.

Скорее разгильдяйство, чем опечатка.

[main.c]

ewert в сообщении #923429 писал(а):

С индексами справа непорядок.

Уже поправил

ewert в сообщении #923429 писал(а):

Скорее разгильдяйство, чем опечатка.

Ну я бы не стал Демидовича называть разгильдяем)) Или Вы имели ввиду разгильдяем того кто набирал текст?))

[ewert]

main.c в сообщении #923430 писал(а):

Ну я бы не стал Демидовича называть разгильдяем)) Или Вы имели ввиду разгильдяем того кто набирал текст?))

Не знаю, но разгильдяйство это объективно, независимо от фамилий. Примерно так же, как неприлично (и вредно!) писать $\int\limits_0^xf(x)\,dx$, хотя многие это и любят.

[Dmitry Tkachenko]

main.c, посмотрите произведение рядов по Коши.

[ewert]

Dmitry Tkachenko в сообщении #923442 писал(а):

main.c, посмотрите произведение рядов по Коши.

Он его знает, независимо от Коши.

[main.c]

Так и не доделал эту задачу, решил вернуться к ней. Ну вот получил я формулы для общего члена ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n$

main.c в сообщении #923425 писал(а):

Сумма их произведения равна сумме ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n$, где $c_n = a_0b_n + ... + a_nb_0$, так же я вывел такие вот формулы:
$c_n = 0$, при нечётном $n$.
$c_0 = a_0b_0$
$c_n = 2(a_0b_n + ... + a_{k-1}b_{n-k+1}) + a_{k}b_{k}$, при чётном $n > 0, \ k = n/2$.
Там кучу факториалов, я не понимаю, как мне дальше с ними бороться.

В этих формулах: $a_n = \dfrac{1}{n!}, \ a_n = \dfrac{(-1)^n}{n!}$
По идее как действуют в таких задачах, находят формулу для частичной суммы, а затем находят предел частичной суммы. В моём случае:
$S_0 = a_0b_0$
$S_2 = a_0b_0 + a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0$
В данном случае $S_2 $ как-то можно упростить? И причём здесь бином Ньютона?

-- 30.10.2014, 10:27 --

Так, я нашёл общую формулу для частичной суммы:
$S_0 = a_0b_0$
$S_1 = a_0b_0 + a_0b_1 + a_1b_0 = (a_0b_0 + a_0b_1) + a_1b_0$
$S_2 = a_0b_0 + a_0b_1 + a_1b_0 + a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 = (a_0b_0 + a_0b_1 + a_0b_2) + (a_1b_0 + a_1b_1) + a_2b_0$
......
$S_n = \sum\limits_{k=0}^{n}$a_0b_k + \sum\limits_{k=0}^{n-1}$a_1b_k + \cdots + a_nb_0

[main.c]

Но как мне теперь найти предел этой частичной суммы?

[ИСН]

main.c в сообщении #924343 писал(а):

По идее как действуют в таких задачах, находят формулу для частичной суммы, а затем находят предел частичной суммы.

Почти никогда так делать невозможно, кроме специально придуманных примеров.
Запишите, пожалуйста, чему равно одно $c_n$ - общее, без разделения на чётные и нечётные, ничего не сокращая, не упрощая и не вынося.