x + sin x = n

[Руст]

Ваша итерация всегда сходится. Однако в точках где sin(n) близко к нулю достаточно долго идёт медленное стремление к пределу вначале ошибка убывает как обратно пропорционально квадратному корню от числа шагов, потом как показательная но с основанием близким к 1.

[dikun]

2 незванный гость

Стоп, стоп, стоп. В самом начале Вы говорите о сходимости метода, не упомянув и словом начальное приближение. То, что его выбор в данном случае - нестандартная задача, я понял. Однако, может быть вообще не существует этого самого начального приближения, для которого итеративный процесс сходится? Если мы не знаем ответа на этот вопрос, то говорить о сходимости метода простой итерации не имеет смысла. Для того, чтобы подобное горе не произошло, я потребовал у Вас проверки всех условий теоремы Банаха о сжимающих отображениях. Почему? Вы же одно из условий проверили - существует окрестность (отрезок) решения, на которой наше отображение сжимающее. Я прекрасно осознаю, что выполнение всех условий даёт заведомо больший результат, - для любого начального приближения из нашего отрезка всё будет в шоколаде. Мне интересен ответ на мой вопрос о существовании начального приближения.

[juna]

Руст писал(а):

Ваша итерация всегда сходится. Однако в точках где sin(n) близко к нулю достаточно долго идёт медленное стремление к пределу вначале ошибка убывает как обратно пропорционально квадратному корню от числа шагов, потом как показательная но с основанием близким к 1.

Не могли бы Вы чуть поподробнее это показать, я, чесно говоря, этого не чувствую. То, что проблемы около 2pik - это я видел изначально, но мне видится нереально медленная сходимость и в других точках.

[незваный гость]

2 dikun

Мое предшествующее сообщение состоит из двух абзацев. Первый -- утверждение, что если начать с приближения, достаточно близкого к корню, то процесс сходится по указанным мной причинам. Второй же абзац -- доказательство сходимости при любом начальном приближении. (Есть там скользкий момент в третьем шаге. Проще всего обойти его, явно указав, что $f(f(f(x)))$ тоже сходиться (по причинам, аналогичным шагу два), и, поскольку состоит из четных и нечетных элементов основной последовательности, то существует и предел основной последовательности, и все четыре предела равны.)

[Руст]

Мы итерируем процесс (при фиксированном n):
(1) $x_{k+1}=n-\sin{x_k}=f(x_k).$
Производная по модулю не превосходит некоторой величины q(n)<1. Точки, где производная по модулю равна 1 не являются предельными точками. Даже если бы они являлись предельными точками всё равно отображение сжимающее и ухудшилось бы только сходимость от показательной до обратно пропорциональной квадратному корню от номера. Это доказывает сходимость рекурентной последовательности (1) всегда.
Как пример возможной плохой сходимости можно рассмотреть случай, когда сразу попадаем в близкую к нулю для синуса окрестность, например |sin(n)|<0.00001. Тогда до момента, когда ошибка станет меньше одной миллионной как правило пройдёт ещё не менее 4*10^10 шагов.