Нахождение числа корней на [a;b] с помощью производной

[keryax]

Добрый день. Поставлена задача - локализовать корни некоторого уравнения $f(x) = 0$ на некотором интервале $[a;b]$
Использую деление интервала $[a;b] $ на несколько более мелких интервалов.

Допустим если взять $f(x)=x^3-6x^2-4x+6$

График будет такой:


Отсюда видно что корни $f(x)=0$ будут в точках:
$-1.25, 0.75, 6.5$

Допустим, если взять интервал $[5;8] $то можно численно узнать что интервал содержит корень
$f(5) f(8) < 0$
Но если взять интервал [-0.5;8] то здесь $f(-0.5)f(8) >0 $, хотя и содержит два корня.

Вопрос: Если взять произвольный интервал [a;b] то как узнать
1. что на этом интервале есть хотя бы один корень?
2. как узнать что корень на интервале только один?

Знаю что это делается с помощью производной, но не помню как.
График построил $f'(x) = 3x^2-12x-4$

Но этот график мне не говорит ни о чем. Как понять по графику, где содержатся корни и сколько их?
Спасибо.

[Deggial]

Наберите все формулы и термы $\TeX$ом, иначе тема поедет в Карантин.

[ИСН]

Теорема Штурма же.

[keryax]

Но ведь в таком случае придется для начала построить ряд Штурма? Допустим если написать алгоритм, который "пробегается" по интервалу с некоторым значением шага и отмечает все точки, в которых функция меняет знак, то что если не хватит точности вычислений? Что если допустим функция 10 000 раз меняет знак на интервале от 0 до 1?

Нет ли другого способа? Более быстрого для вычислений.

[ИСН]

Если у Вас многочлен десятитысячной степени, то с ним всё всегда будет происходить медленно и печально, неважно каким способом.
А пробегаться с шагом не надо. Берём интервал, делим пополам, ещё пополам, пока не локализуем все корни (чтобы каждый находился на своём отрезочке), а потом забиваем на Штурма и находим их уже простыми методами.

[keryax]

Допустим, разбили мы участок пополам. Как узнать что на половинке участка есть корень? Ведь нельзя же узнать сколько раз функция меняет знак. Вдруг функция меняет знак 2 раза. Тогда $f(a)f(b) > 0 $ и получится что корня нет, а на самом деле есть. Два.

[ИСН]

keryax в сообщении #914201 писал(а):

Ведь нельзя же узнать сколько раз функция меняет знак.

ИСН в сообщении #914194 писал(а):

Теорема Штурма же.

[keryax]

Я правильно понимаю что нужно использовать данную формулу?
$f_0(x) = \frac{f(x)}{(f(x), f'(x))}$

[iifat]

Нет, вы как-то неправильно понимаете. Такое чувство, что вы если и читали, что вам несколько раз написали "теорема Штурма", но саму теорему не прочитали. И зря.

[keryax]

В теореме написано что количество корней на интервале $[a;b]$ равняется $W(a)-W(b)$, где $W(c)$ - значение ряда Штурма в точке $c$.

Для построения ряда нужно найти N производных. Верно?

И да, как быть если функция не является многочленом n степени? Например $f(x) = x^x$
В таком случае, как я понял, применить теорему Штурма нельзя.

[ИСН]

Если функция не является многочленом, то она может вытворять что угодно, так что и загадывать нечего.

[TR63]

Ищите участок, на котором производная монотонна.

[keryax]

Действительно! Спасибо, как раз то что я искал.

[ИСН]

Сказать "ищите, где монотонность" - это примерно то же самое, что сказать "ищите, где корни", ведь в общем случае одно другого не легче. Если в Вашем частном случае легче, то имело бы смысл уточнить, что же это за случай.
Впрочем, ладно. Нашли - и ОК.

[TR63]

Разумеется, подразумевается применение метода в отдельных подходящих случаях. В качестве примера можно посмотреть мою задачу в "Олимпиадном" разделе, тема: "Хитрый экстремум". Большего сказать не могу, поскольку задача ещё не решена. Можно считать это внешней подсказкой к её решению.