Реорганизация учебной программы по анализу

[mishafromusa]

Ну, Nemiroff, Вы просто с детства привыкли к пределам. Если бы Вы сначала познакомлись с липшицевостью, то взгляд был бы другой.

-- 08.10.2014, 01:46 --

g______d, ситуация следующая. Производная функции, которую я предложил, экспоненциально мала, и могла быть записана в таком виде, что это очевидно. Предположим мы вставили эту производную в Mathematica, или какую-нибудь другую CAS, она любезно проинтегрировала и упростила ответ, получив предложенную мной функцию. Если бы мы теперь вставили числа, чтоб найти определённый интеграл через первообразную, то могла получиться чушь. А численно интеграл был бы правильный. Теперь понятно? Я думал, что всё это было очевидно и без дополнительных пояснений, прошу прощения, если ошибался.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #916451 писал(а):

Если бы мы теперь вставили числа, чтоб найти определённый интеграл через первообразную, то могла получиться чушь. А численно интеграл был бы правильный. Теперь понятно?

А, Вы имеете в виду эффект, когда $1.0000000000000000000000001-1\neq 0.0000000000000000000000001-0$ на калькуляторе с 10 знаками и экспоненциальной записью числа? Ну так если студент его не знает, то его вообще к калькулятору подпускать нельзя.

[vicvolf]

kp9r4d в сообщении #913098 писал(а):

Если студент собирается быть программистом или инженером, зачем вообще ему было учиться уверенно решать примеры? Если он собирается в будущем быть профессиональным математиком, так ли уж необходимо было тратить время и энергию, чтобы раскрывать неопределенности элементарных функций по правилу Лопиталя, вместо того, чтобы учиться каким-то содержательным вещам? Если просмотреть листочки НМУ по анализу, то правилу Лопиталя там уделяется 1-2 упражнений, да и то вида «доказать и забыть».

Сравнение порядков величин является одним из фундаментальных в матанализе. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя часто используется в математике. Смотрите, например, сообщение от 07.10.2014 [censored]
Все мы в молодости были революционерами и все отрицали. С годами приходит мудрость ...

[Deggial]

vicvolf, замечание за саморекламу

[mishafromusa]

g______d в сообщении #916468 писал(а):

А, Вы имеете в виду эффект, когда....

Да, но такие эффекты возникают сплошь и рядом в гораздо более завуалированном виде, и бороться с ними трудно, эта борьба есть часть искусства вычислений, которому студентов плохо учат.

[Munin]

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #916424 писал(а):

Кроме Вас

Как легко видеть по последней странице, без меня у вас тоже ни черта не получается.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #916521 писал(а):

эта борьба есть часть искусства вычислений

Ну неплохо начать с прочтения инструкции к калькулятору. С точки зрения анализа, кстати, можно $\sin(x)-\sin(x-e^{-x})$ переписать через разность синусов и оценить. Не понимаю, почему непонимание принципа работы синхрофазотрона калькулятора является недостатком курса анализа.

С тем, что не-математикам можно заменить часть анализа на искусство вычислений, я в целом согласен, но тогда мы снова придем к Calculus. И к данной теме это, опять же, относится весьма условно, потому что мы обсуждаем именно полноценный курс анализа.

[мат-ламер]

Да не в интегралах и вычислениях дело. Вон в соседней ветке товарищ заинтересовался наукой (в частности, анализом) на 4-м курсе, и только сейчас понял, в чём смысл предела, хотя вычислять его умел. А понимание получить сложно, если идёт натаскивание на решение стандартных примеров.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #916451 писал(а):

Ну, Nemiroff, Вы просто с детства привыкли к пределам. Если бы Вы сначала познакомлись с липшицевостью, то взгляд был бы другой.

Ну меня вот, например, с детства приучали именно к липшицевостям или чему-то типа. И пока приучали -- я особо не возражал, совсем нет; приучали-то грамотно. Но только до тех пор, пока не услыхал про пределы. А как услыхал -- немедленно стал относиться к тем липшицевостям как к некоторой причуде. Да, безобидной; но -- не более чем причуде.

[olenellus]

На практике попадалась система нелинейных ОДУ, с которой Mathematica не справилась (в новых версиях не проверял). Я ей даже поверил и стал искать решения при всяких упрощениях. Потом оказалось, что точное решение получить проще, чем решать "упрощённые" системы

Maple, кстати, систему "решил". Но те подстановки, в которых он выразил ответ, я не проверял досконально. Во всяком случае, похоже на правду.

До сих пор ещё проблема: все примеры из Камке ни один пакет пока не раскусывает.

Но речь шла об интегралах. Известно, что в Градштейне-Рыжике есть ошибки. Наверняка, ошибки есть и в различных пакетах. Если не уметь брать интегралы с бумажкой и ручкой, то ошибки очень тяжело обнаружить. Единственный оставшийся в этом случае способ — это получить галиматью в ответе и обнаружить этот факт, что далеко не всегда тривиально.

[Brukvalub]

olenellus в сообщении #1094108 писал(а):

Если не уметь брать интегралы с бумажкой и ручкой, то ошибки очень тяжело обнаружить.

На мой взгляд, любую ошибку в неопределенном интегрировании обнаружит каждый, кто умеет дифференцировать.

[Munin]

Дифференцировать, например, какие-нибудь спецфункции, - не всегда тривиальное занятие.

[arseniiv]

Дифференцирование можно ведь тоже доверить СКА. Вероятность, что ошибки взаимно сократятся, должна быть поменьше вероятности ошибок в интегрирующем и дифференцирующем алгоритмах.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1094246 писал(а):

Дифференцировать, например, какие-нибудь спецфункции, - не всегда тривиальное занятие.

А еще интересно посмотреть на студента, умеющего на бумажке интегрировать в спецфункциях (если это не какая-нибудь тривиальная функция ошибок или интегральный синус, а нечто более продвинутое ).

[Red_Herring]

Brukvalub в сообщении #1094143 писал(а):

На мой взгляд, любую ошибку в неопределенном интегрировании обнаружит каждый, кто умеет дифференцировать.

Может обнаружить.