Проверьте, пожалуйста, доказательство следующего утверждения: множество совпадает со своим замыканием тогда и только тогда, когда оно замкнуто.
Несколько определений, от которых я отталкивался
- если множество является дополнением к открытому, то оно называется замкнутым
- множество
называется окрестностью точки
топологического пространства
, если существует открытое множество
такое, что
и 
- точка
называется точкой касания множества
, если любая окрестность
содержит точку из
, т.е.
Доказательство утверждения

, следовательно

- замкнутое множество.

не содержит точек касания, следовательно

- окрестность

такая, что

, а следовательно

открытое множество, входящее в

такое, что

. Исходя из того, что такие открытые множества есть для любой точки

, то объединением этих открытых множеств является множество

, т.е. оно открыто, следовательно

замкнуто.
Доказательство утверждения

- замкнутое множество, следовательно

.

- замкнутое, следовательно

открытое. Пусть точка

- точка касания множества

. Рассмотрим окрестность

, она же открытое множество, для которого должно выполняться, что

- противоречие, следовательно в

нет точек касания.