Множество замкнуто iff оно совпадает со своим замыканием

[ean]

Проверьте, пожалуйста, доказательство следующего утверждения: множество совпадает со своим замыканием тогда и только тогда, когда оно замкнуто.
Несколько определений, от которых я отталкивался

• если множество является дополнением к открытому, то оно называется замкнутым
• множество $U$ называется окрестностью точки $x$ топологического пространства $(X,T)$, если существует открытое множество $V \subset T$ такое, что $x \in V$ и $V \subset U$
• точка $x$ называется точкой касания множества $A \subset (X,T)$, если любая окрестность $V$ содержит точку из $A$, т.е. $A \cap V \neq \emptyset$

Доказательство утверждения $A=\bar{A}$, следовательно $A$ - замкнутое множество.
$X\setminus A$ не содержит точек касания, следовательно $\forall y \in (X\setminus A) \exists U$ - окрестность $y$ такая, что $U \cap A = \emptyset$, а следовательно $\exists V$ открытое множество, входящее в $U$ такое, что $V \cap A = \emptyset$. Исходя из того, что такие открытые множества есть для любой точки $X \setminus A$, то объединением этих открытых множеств является множество $X \setminus A$, т.е. оно открыто, следовательно $A$ замкнуто.
Доказательство утверждения $A$ - замкнутое множество, следовательно $A=\bar{A}$.
$A$ - замкнутое, следовательно $X\setminus A$ открытое. Пусть точка $y \in X \setminus A$ - точка касания множества $A$. Рассмотрим окрестность $X \setminus A$, она же открытое множество, для которого должно выполняться, что $X \cap (X \setminus A) \neq \emptyset$ - противоречие, следовательно в $X \setminus A$ нет точек касания.

[olenellus]

Правильно. За исключением маленькой опечатки:

ean в сообщении #911192 писал(а):

$X \cap (X \setminus A) \neq \emptyset$

[g______d]

(LaTeX)

$\varnothing$

[ean]

olenellus в сообщении #911269 писал(а):

Правильно. За исключением маленькой опечатки:
ean в сообщении #911192

писал(а):
$X \cap (X \setminus A) \neq \emptyset$

Ага, спасибо, понял, должно быть $A \cap (X \setminus A) \neq \emptyset$