Доказать, используя определение предела последовательности

[Scientia]

Здравствуйте. Задание, казалось бы, совсем простое, но у меня вызвало трудности.
Доказать, что $\lim_{n \to \infty} \frac {2-n}{1-3n} = \frac13$.

По определению $\lim_{n \to \infty} x_n = a$
$\forall \varepsilon > 0$ $ \exists N=N(\varepsilon): \forall n > N$ выполняется $\vert x_n - a\vert < \varepsilon $.
Тогда:
$\vert \frac {2-n}{1-3n} - \frac13 \vert < \varepsilon $;

$\vert \frac{2n+1}{3-9n} \vert < \varepsilon $.
Раскрываем модуль со знаком минус:
$-\frac{2n+1}{3-9n} < \varepsilon $;

$\frac{2n+1}{9n-3} < \varepsilon$;

$2n+1 < \varepsilon(9n-3)$;
$n(9\varepsilon-2)>3\varepsilon - 1$.
Здесь возникают сомнения. Задача – выразить $n$, но я не совсем понимаю, как действовать в этой ситуации, поскольку $9\varepsilon-2$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В школе мы разбивали неравенство на 2 части, решали отдельно для случая, когда $9\varepsilon-2>0$ и $9\varepsilon-2<0$. А здесь?

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

Предел правильно записывать так: \lim \limits _{n \to \infty} x_n.

[Sonic86]

Scientia в сообщении #910567 писал(а):

Тогда:
$\vert \frac {2-n}{1-3n} - \frac13 \vert < \varepsilon $;

$\vert \frac{2n+1}{3-9n} \vert < \varepsilon $.

преобразование неправильно

[Scientia]

Aritaborian в сообщении #910572 писал(а):

(Про ТеХ)

Предел правильно записывать так: \lim \limits _{n \to \infty} x_n.

А у меня записано не так же? Я не вижу разницу.

Sonic86 в сообщении #910573 писал(а):

Scientia в сообщении #910567 писал(а):

Тогда:
$\vert \frac {2-n}{1-3n} - \frac13 \vert < \varepsilon $;

$\vert \frac{2n+1}{3-9n} \vert < \varepsilon $.

преобразование неправильно

Спасибо! Удивительно, как можно было упустить такую глупую ошибку из внимания.

[Aritaborian]

Scientia в сообщении #910578 писал(а):

А у меня записано не так же? Я не вижу разницу.

У вас записано так: \lim _{n \to a} x_n, что даёт $\lim _{n \to a} x_n$. У меня так: \lim \limits _{n \to a} x_n, что даёт $\lim \limits _{n \to a} x_n$. Теперь видите разницу?

[Scientia]

Aritaborian в сообщении #910707 писал(а):

Теперь видите разницу?

Да, спасибо за пояснение. Обязательно приму во внимание.