Откуда растут ноги у понятия направления и напр-ого отрезка?

[_hum_]

Хотелось бы осознать, из каких базовых фактов проистекает неизбежная необходимость появления в нашем мире таких понятий как направление и направленный отрезок/вектор.
С одной стороны, кажется, что для этого стоит обратиться к основаниям геометрии (ведь у любого обывателя, живущего в нашем мире, уже имеется представление о направлении. Значит, скорее всего, оно проистекает из свойств геометрии). Интуитивно кажется, что оно должно быть тесно связано с определением понятия "луч", ведь именно последнему присуща та асимметрия, которая, как видится, и воспринимается нами как свойство направленности. Как оказывается, определение луча можно дать, опираясь только на понятия точек $A$,$B$,... и тернарного отношения $[A B C]$ "между" ("$B$ находится между $A$ и $C$") для них (примечательно, что вся аксиоматика евклидовой геометрии может быть сформулирована только на базе этих двух примитивов, см. Ordered geometry):

Цитата:

The segment $AB$ is the set of points $P$ such that $[A P B]$.

The interval $AB$ is the segment $AB$ and its end points $A $ and $B$.

The ray $A/B$ (read as "the ray from $A$ away from $B$") is the set of points $P$ such that $[P A B]$.

Таким образом, вроде бы становится понятно, что понятие направления проистекает из того, что мы способны фиксировать в нашем мире отношение "между", в котором "заложена" асимметрия в том смысле, что хоть $[A B C]$ и совпадает с $[C B A]$, оно но не совпадает с $[C A B].$

В этом смысле становится понятным, откуда в физике могут появляться направленные отрезки. Ведь движение материальной точки - это прохождение ею в разные моменты времени разных точек, между которыми можно рассматривать отношение "между". И если положить, что на бесконечно малых промежутках времени все точки оказываются коллинеарными, то в силу необратимости времени движение на этих малых отрезках времени естественно характеризовать лучами $B/A$, в которых сегмент $AB$ выступает множеством точек, в которых тело уже побывало, а фрагмент $\{P: [A B P]\}$ - там где оно еще только собирается быть в будущем. А это и есть прообраз вектора-перемещения $\overrightarrow{AB}$.

p.s. Интересно, а без движения понятие направления в нашем мире было бы востребовано?

[epros]

_hum_ в сообщении #905853 писал(а):

Таким образом, вроде бы становится понятно, что понятие направления проистекает из того, что мы способны фиксировать в нашем мире отношение "между", в котором "заложена" асимметрия в том смысле, что хоть $[A B C]$ и совпадает с $[C B A]$, оно но не совпадает с $[C A B].$

В этом смысле становится понятным, откуда в физике могут появляться направленные отрезки. Ведь движение материальной точки - это прохождение ею в разные моменты времени разных точек, между которыми можно рассматривать отношение "между".

А может всё дело всего лишь в том, что прочтение слова зависит от порядка букв? Например, $[AB]$ визуально отличается от $[BA]$, хотя отрезок вроде тот же самый. А отличие в чём? Да как раз в этой самой направленности.

Физики, впрочем, в этом никакой нет.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #905853 писал(а):

В этом смысле становится понятным, откуда в физике могут появляться направленные отрезки. Ведь движение материальной точки - это прохождение ею в разные моменты времени разных точек, между которыми можно рассматривать отношение "между".

Всего этого совсем не нужно. В линейном пространстве есть направления, и оно входит в модели всяких физических вещей — и, разумеется, эти модели наследуют и понятие направления. Направление движения получается просто из дифференцирования траектории, и в результате его даже не всегда можно определить.

[_hum_]

epros
"визуально отличается" :) да потому визуально и отличается, что как-то связано с геометрией.

-- Вт сен 09, 2014 15:34:05 --

arseniiv, я хочу понять, откуда возникают линейные пространства, а вы все "зачем тебе понимать, что рациональные числа взялись из проблемы соизмерения отрезков, бери сразу аксиоматику вещественных чисел и не прогадаешь".

[epros]

arseniiv в сообщении #905859 писал(а):

Направление движения получается просто из дифференцирования...

Точно. А формулка для дифференцирования содержит разность, для которой порядок буковок (то бишь, операндов) имеет значение.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #905860 писал(а):

я хочу понять, откуда возникают линейные пространства

Тут небольшая беда — направленность люди заметили намного раньше, чем определили линейное пространство над не важно каким полем, так что вопросы возникновения линейного пространства (и исторически у нас, людей, и «в синхронии») и вопрос, как направленность возникает в линейном пространстве и почему она оттуда просачивается во что-то, с ним связанное — все разные.

[_hum_]

arseniiv в сообщении #905864 писал(а):

Тут небольшая беда — направленность люди заметили намного раньше, чем определили линейное

Вот и я о том же. И хочу узнать, в каком именно месте людям приходится с необходимостью вводить это понятие и почему. Грубо говоря, хочется знать, что должно быть в другой вселенной, чтобы можно было сказать - у той цивилизации точно так же должен будет существовать аналог нашему понятию направления и направленного отрезка.

На всякий случай, ответы типа "ну это же очевидно", "перемещение всегда характеризуется направлением" и т.п. не принимаются.

[epros]

_hum_ в сообщении #905860 писал(а):

epros
"визуально отличается" :) да потому визуально и отличается, что как-то связано с геометрией.

Я бы сказал, что это связано с вещами более фундаментальными, чем геометрия. Как минимум, с логикой. Ибо используемые в языке бинарные отношения вообще говоря несимметричны. Т. е. «Коля любит Машу» не равно «Маша любит Колю».

Отсюда, когда у нас в геометрии появляется пара точек, понятие задаваемого ей направления естественным образом возникает в зависимости от того, в каком порядке эти точки были названы. В этом плане более интересен вопрос, откуда вообще взялась идея о симметричности отрезка...

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #905868 писал(а):

Грубо говоря, хочется знать, что должно быть в другой вселенной, чтобы можно было сказать - у той цивилизации точно так же должен будет существовать аналог нашему понятию направления и направленного отрезка.

Вопрос не очень-то подъёмный. Помогите отвечающим, дав какое-то описание множества всех возможных вселенных.

[Skeptic]

_hum_ в сообщении #905868 писал(а):

Вот и я о том же. И хочу узнать, в каком именно месте людям приходится с необходимостью вводить это понятие и почему. Грубо говоря, хочется знать, что должно быть в другой вселенной, чтобы можно было сказать - у той цивилизации точно так же должен будет существовать аналог нашему понятию направления и направленного отрезка.

Это идёт из жизни: верх-низ, левая-правая сторона. От этого зависела жизнь охотника, вовремя отпрыгнувшего по направлению от зубов хищника. В других вселенных дело обстоит так же.

[_hum_]

arseniiv в сообщении #905877 писал(а):

_hum_ в сообщении #905868 писал(а):

Грубо говоря, хочется знать, что должно быть в другой вселенной, чтобы можно было сказать - у той цивилизации точно так же должен будет существовать аналог нашему понятию направления и направленного отрезка.

Вопрос не очень-то подъёмный. Помогите отвечающим, дав какое-то описание множества всех возможных вселенных.

Тогда можно так, из каких фундаментальных фактов о нашем мире с необходимостью должно вытекать появление в математике и физике понятия направления, направленного отрезка, вектора.

Как вариант: из возможности фиксации человеком специфического отношения "между" для геометрических точек, тесно связанного с восприятием нами геометрии (в том числе прямых линий).

Когда-то подобного рода вопросом задавался и для комплексных чисел - почему они с необходимостью должны были появиться. И вроде бы ответ стал понятен в процессе обсуждения: Почему комплексные числа "работают" на практике ?

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[epros]

_hum_ в сообщении #907167 писал(а):

из каких фундаментальных фактов о нашем мире с необходимостью должно вытекать появление в математике и физике понятия направления, направленного отрезка, вектора.

Какие-то стрёмные вопросы. Возникновение и самих-то физики с математикой ниоткуда не «вытекает с необходимостью»: Сидели бы сейчас на деревьях, закусывали бананами и о физике с математикой не думали бы.

_hum_ в сообщении #907167 писал(а):

Когда-то подобного рода вопросом задавался и для комплексных чисел - почему они с необходимостью должны были появиться. И вроде бы ответ стал понятен в процессе обсуждения

Не знаю уж что Вам там может стать понятным, но очевидный ответ заключается в том, что модель комплексных чисел оказалась востребованной потому, что она нашла применения в технике. Могла не найти, тогда бы о комплексных числах мало кто знал. Как цивилизация майя не знала колеса.

[_hum_]

epros, вообще-то очень очень многие вещи растут из геометрии. Например, рациональные числа возникли из геометрической задачи соизмеримости отрезков, действительные - оттуда же - из проблемы несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Основные алгебраические структуры (кольца, поля) - оттуда же. Комплексные - для решения проблемы замкнутости основных алгебраических операций. И т.п.
Просто нынешние математики давно уже это все оставили позади, думая, что математика - это чистая фантазия, игра ума, которая изредко пригождается для практических нужд.

epros в сообщении #907323 писал(а):

Не знаю уж что Вам там может стать понятным, но очевидный ответ заключается в том, что модель комплексных чисел оказалась востребованной потому, что она нашла применения в технике.

:) Вообще-то, они появились из проблемы поиска общего способа решения уравнения третьей степени. Техника тут была ни при чем.

[Munin]

_hum_ в сообщении #907349 писал(а):

epros, вообще-то очень очень многие вещи растут из геометрии. Например, рациональные числа возникли из геометрической задачи соизмеримости отрезков, действительные - оттуда же - из проблемы несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Основные алгебраические структуры (кольца, поля) - оттуда же.

У вас очень много мусора в голове. Попробуйте его вытряхнуть, и почитать что-нибудь серьёзное.