Уравнение

[arqady]

Решите следующее уравнение:

$x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{2}{5}=0.$

PS. Мне удалось найти красивое элементарное решение ( формулы сокращённого умножения, квадратные корни ). Удачи!

[sergey1]

Домножим обе части на ($x+1$), получим $5x^7-3x+2=0$. Обе точки экстремума оказались в верхней полуплоскости, значит, корень $x=-1$ единственный. Поэтому исходное уравнение не имеет решений.

[arqady]

sergey1 писал(а):

Домножим обе части на (х+1), получим $5x^7-3x+2=0$. Обе точки экстремума оказались в верхней полуплоскости, значит, корень $x=-1$ единственный. Поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Так даже я могу! Попробуйте решить это без применения анализа.

[juna]

Почему доказательство отсутствия действительных корней считается решением исходного уравнения?
Почему нельзя использовать матанализ, ведь можно получать совсем точные неравенства?
Например, ваше уравнение приводится к виду $\frac{x^7+1}{x+1}=\frac{3}{5}$, но ясно, что $\frac{x^7+1}{x+1}>\frac{3}{5}$ для $x\leqslant 0$ и $x\geqslant 1 $. В оставшемся диапазоне как раз минимум этой функции, который точно находится $\forall n\in \mathbb N : \frac{x^n+1}{x+1}\geqslant \frac{a^n+1}{a+1}$, где $a=\left (\frac{-n+\sqrt{n^2+4\cdot(n-1)}}{2(n-1)}\right )^{\frac{1}{n-1}}$
P.S. По-моему, где-то я эту задачу уже видел.

[TOTAL]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

В оставшемся диапазоне как раз минимум этой функции, который точно находится $\forall n\in \mathbb N : \frac{x^n+1}{x+1}\geqslant \frac{a^n+1}{a+1}$, где $a=\left (\frac{-n+\sqrt{n^2+4\cdot(n-1)}}{2(n-1)}\right )^{\frac{1}{n-1}}$

Откуда взялся этот минимум?

[juna]

Это следствие моей ошибки. Извиняюсь.
Оценку надо исправить так
$\forall n\in \mathbb N:\frac{x^n+1}{x+1}>\frac{a^{n+1}+1}{a+1}$, где $a=\frac{\left (n+1\right )^{\frac{1}{n^2}}}{\left ( {(n+1)^{\frac{n+1}{n}}+n}\right )^{\frac{1}{n}}}$

[sergey1]

Цитата:

Почему доказательство отсутствия действительных корней считается решением исходного уравнения?

Вы думаете надо искать комплексные? Попросим автора уточнить.

[arqady]

sergey1
Речь идёт о действительных корнях. Ответ, конечно, - пустое множество, но доказать это желательно элементарно. Это интересно, имхо.
Кстати, двадцать лет назад в России было принято, что если переменная уравнения x, то по умолчанию считалось, что речь идёт о решении уравнения на множестве действительных чисел. Если же переменная z, то речь шла о комплексной переменной. Что-то изменилось с тех пор?

[juna]

Не знаю, как лет двадцать назад, но если говорят решить уравнение, значит нужно найти его корни, например, выраженные через радикалы.
Если операция извлечения корня элементарна, то вот одно из решений.
Итак, доказываем, что $\frac{x^7+1}{x+1}>\frac{3}{5}}=0.6$
$\frac{x^7}{x+1}+\frac{1}{x+1}>\frac{3}{5}$
Поскольку нужно рассматривать только отрезок $x\in(0,1)$, то $\frac{x^7}{2}+\frac{1}{x+1}<\frac{x^7}{x+1}+\frac{1}{x+1}$
Докажем, что $\frac{1}{x+1}+\frac{x^7}{2}>\frac{3}{5}$
$\frac{1}{x+1}<\frac{3}{5} \to x>\frac{2}{3}=0.666(7)$
На указанном отрезке $min(\frac{1}{x+1})=\frac{1}{2}=0.5$
Выясним, когда $\frac{x^7}{2}<\frac{1}{10}$. Это случится при $x<(\frac{2}{10})^{1/7}=0.7945$
Значит нужно рассматривать лишь промежуток $x\in[\frac{2}{3},(\frac{1}{5})^{1/7}]$.
Имеем $\frac{1}{1+(\frac{1}{5})^{1/7}}=0.5572$
Выясним, когда $\frac{x^7}{2}<\frac{1}{23}=0,043$. Находим $x<(\frac{2}{23})^{1/7}=0,705$.
Значит можно рассматривать $x\in[\frac{2}{3},(\frac{2}{23})^{1/7}]$.
Имеем $\frac{1}{1+(\frac{2}{23})^{1/7}}=0.5863$
Выясним, когда $\frac{x^7}{2}<\frac{2}{100}$. Находим $x<(\frac{4}{100})^{1/7}=0.63$. Но эта точка не принадлежит рассматриваемому отрезку.

[TOTAL]

x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{2}{5}=x^4(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}x^2(x-\frac{2}{3})^2+\frac{2}{3}(x-\frac{3}{4})^2+\frac{1}{40}>0

[juna]

Это я уже тоже где-то видел.

[sergey1]

Еще доказательство.
Т.к. $5x^7+2=5x^7+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3>=3,435x$ (по неравенству Коши), то уравнение $5x^7-3x+2=0$ не имеет неотрицательных решений. Значит, и исходное уравнение, получающееся из этого делением на x+1 не имеет неотрицательных корней.

[arqady]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Это я уже тоже где-то видел.

Может быть здесь:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=163359

[juna]

Интересно - это анфаз или профиль?

[expmrs]

TOTAL в сообщении #75622 писал(а):

x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{2}{5}=x^4(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}x^2(x-\frac{2}{3})^2+\frac{2}{3}(x-\frac{3}{4})^2+\frac{1}{40}>0

Немного сильнее:

$$x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{2}{5}=$$ $$\frac{1}{16}(4x^3-2x^2+x-1)^2+\frac{1}{16}(2x^2-x)^2+\frac{1}{160}(10x-7)^2+\frac{1}{32}$$