2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Нильидеал и нильрадикал
Сообщение29.08.2014, 21:01 
Правильно ли я понимаю, что соотношение между нильидеалом $I$ и нильрадикалом $N$ одного и того же коммутативного кольца $R$ состоит в том, что $I\subset N?$ И вообще, в чем разница между этими понятиями? И если связь между нильидеалом, нильрадикалом и гильпотентным идеалом?

 
 
 
 Re: Нильидеал и нильрадикал
Сообщение30.08.2014, 16:03 
Нильидеал - это любой идеал, все элементы которого нильпотентны. Нильрадикал состоит из всех нильпотентных элементов кольца и, конечно, содержит все нильидеалы. Идеал $J$ нильпотентный, если $J^n=\{0\}$ для какого-то $n$, то есть, если произведение любых $n$ элементов $J$ равно $0$.
Конечно, любой нильпотентный идеал является нильидеалом, но обратное неверно. В качестве примера можно привести идеал кольца $\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_4\oplus \mathbb{Z}_8\oplus\ldots$, порожденный элементами вида $(0,\ldots,0,2,0,0,\ldots)$.

(неправильный пример)

Например, в кольце $\left(\mathbb{Z}_4\right)^\infty$ нильрадикал $\{0,2\}^\infty$ не является нильпотентным.

:twisted:

 
 
 
 Re: Нильидеал и нильрадикал
Сообщение30.08.2014, 17:41 
Спасибо, поняла. А что обозначают $(\mathbb{Z}_4)^{\infty}$ и $\{0,2\}^{\infty}?$

 
 
 
 Re: Нильидеал и нильрадикал
Сообщение30.08.2014, 21:53 
OlgaD в сообщении #902145 писал(а):
Спасибо, поняла. А что обозначают $(\mathbb{Z}_4)^{\infty}$ и $\{0,2\}^{\infty}?$
я был неправ с примером, можете посмотреть исправленное сообщение

 
 
 
 Re: Нильидеал и нильрадикал
Сообщение31.08.2014, 20:27 
patzer2097 в сообщении #902123 писал(а):
порожденный элементами вида $(0,\ldots,0,2,0,0,\ldots)$.
А двойка ставится на произвольные места (кроме первого)?

 
 
 
 Re: Нильидеал и нильрадикал
Сообщение31.08.2014, 21:04 
Первое слагаемое вообще можно выкинуть.

 
 
 
 Re: Нильидеал и нильрадикал
Сообщение01.09.2014, 06:41 
Поняла

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group