Нильидеал - это любой идеал, все элементы которого нильпотентны. Нильрадикал состоит из всех нильпотентных элементов кольца и, конечно, содержит все нильидеалы. Идеал

нильпотентный, если

для какого-то

, то есть, если произведение любых

элементов

равно

.
Конечно, любой нильпотентный идеал является нильидеалом, но обратное неверно. В качестве примера можно привести идеал кольца

, порожденный элементами вида

.
(неправильный пример)
Например, в кольце

нильрадикал

не является нильпотентным.
