Нильидеал и нильрадикал

[OlgaD]

Правильно ли я понимаю, что соотношение между нильидеалом $I$ и нильрадикалом $N$ одного и того же коммутативного кольца $R$ состоит в том, что $I\subset N?$ И вообще, в чем разница между этими понятиями? И если связь между нильидеалом, нильрадикалом и гильпотентным идеалом?

[patzer2097]

Нильидеал - это любой идеал, все элементы которого нильпотентны. Нильрадикал состоит из всех нильпотентных элементов кольца и, конечно, содержит все нильидеалы. Идеал $J$ нильпотентный, если $J^n=\{0\}$ для какого-то $n$, то есть, если произведение любых $n$ элементов $J$ равно $0$.
Конечно, любой нильпотентный идеал является нильидеалом, но обратное неверно. В качестве примера можно привести идеал кольца $\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_4\oplus \mathbb{Z}_8\oplus\ldots$, порожденный элементами вида $(0,\ldots,0,2,0,0,\ldots)$.

(неправильный пример)

Например, в кольце $\left(\mathbb{Z}_4\right)^\infty$ нильрадикал $\{0,2\}^\infty$ не является нильпотентным.

[OlgaD]

Спасибо, поняла. А что обозначают $(\mathbb{Z}_4)^{\infty}$ и $\{0,2\}^{\infty}?$

[patzer2097]

OlgaD в сообщении #902145 писал(а):

Спасибо, поняла. А что обозначают $(\mathbb{Z}_4)^{\infty}$ и $\{0,2\}^{\infty}?$

я был неправ с примером, можете посмотреть исправленное сообщение

[OlgaD]

patzer2097 в сообщении #902123 писал(а):

порожденный элементами вида $(0,\ldots,0,2,0,0,\ldots)$.

А двойка ставится на произвольные места (кроме первого)?

[AV_77]

Первое слагаемое вообще можно выкинуть.

[OlgaD]

Поняла