2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление одной суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение29.08.2014, 20:01 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Здравствуйте!

Пусть $p>2$ -- простое и $f(x)=ax^2+bx+c,$ где $p\nmid a$. Вычислить сумму $S=\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{f(x)}{p}\right)$.

Моя попытка решения: $$S=S \left(\dfrac{4a^2}{p}\right)=\left(\dfrac{4a^2}{p}\right)\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{ax^2+bx+c}{p}\right)=\left(\dfrac{a}{p}\right)\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{4a^2x^2+4abx+4ac}{p}\right)=$$$$=\left(\dfrac{a}{p}\right)\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{(2ax+b)^2-\Delta}{p}\right)=\left(\dfrac{a}{p}\right)\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{x^2-\Delta}{p}\right)$$ где $\Delta=b^2-4ac$
Первый случай: Если $p\mid \Delta$, тогда $S=\left(\dfrac{a}{p}\right)(p-1)$.
Второй случай: Если $p\nmid \Delta$, но $\left(\dfrac{\Delta}{p}\right)=1$, тогда существует $d$ такое, что $d^2\equiv \Delta \pmod{p}$ и $\text{gcd}(d,p)=1$. В таком случае имеем: $$S=\left(\dfrac{a}{p}\right)\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{x^2-d^2}{p}\right)=\left(\dfrac{a}{p}\right)\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{(x-d)(x+d)}{p}\right)=\left(\dfrac{a}{p}\right)\sum \limits_{y=0}^{p-1}\left(\dfrac{y(y+2d)}{p}\right)=-\left(\dfrac{a}{p}\right)$$
Третий случай: Если $p\nmid \Delta$, но $\left(\dfrac{\Delta}{p}\right)=-1$. Как быть с этим случаем? Что-то не могу понять :-(
Помогите пожалуйста.

С уважением, Whitaker.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одной суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение30.08.2014, 12:41 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Вроде понял как это сделать.
Будем сразу рассматривать случай когда $p\nmid \Delta$.
Воспользуемся тем, что $\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\pmod {p}$ и получаем, что: $$S\equiv\left(\frac{a}{p}\right)\sum \limits_{x=0}^{p-1}(x^2-\Delta)^{\frac{p-1}{2}}=\left(\frac{a}{p}\right)\sum \limits_{x=0}^{p-1}(x^{p-1}+Q(x))=\left(\frac{a}{p}\right)S',$$ где $Q(x)=a_{p-2}x^{p-2}+\dots+a_1x+a_0$ -- многочлен с целыми коэффициентами степени не выше $p-2$. Подставляя это в сумму мы получаем, что: $$S'=\sum \limits_{x=0}^{p-1}(x^{p-1}+Q(x))=\sum \limits_{x=0}^{p-1}x^{p-1}+a_{p-2}\sum \limits_{x=0}^{p-1}x^{p-2}+\dots+a_{1}\sum \limits_{x=0}^{p-1}x+a_0\sum \limits_{x=0}^{p-1}1\equiv -1 \pmod{p}$$ В последнем я воспользовался этим. Но так как $|S'|\leqslant p,$ то получаем, что $S'\in \{-1, p-1\}$. Случай $p-1$ сразу отпадает и получаем, что $S'=-1$. Таким образом, получаем, что: $S=-\left(\frac{a}{p}\right)$.
Скажите пожалуйста это верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одной суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение30.08.2014, 13:12 
Заслуженный участник


20/12/10
6564
Whitaker в сообщении #902045 писал(а):
Скажите пожалуйста это верно?
Вроде да.

Что-то я туплю, объясните мне вот этот момент:
Whitaker в сообщении #901839 писал(а):
таком случае имеем: $$S=\left(\dfrac{a}{p}\right)\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{x^2-d^2}{p}\right)=\left(\dfrac{a}{p}\right)\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{(x-d)(x+d)}{p}\right)=\left(\dfrac{a}{p}\right)\sum \limits_{y=0}^{p-1}\left(\dfrac{y(y+2d)}{p}\right)=-\left(\dfrac{a}{p}\right)$$
Последнее равенство меня интересует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одной суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение30.08.2014, 13:39 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Т.е. нам надо показать, что $L=\sum \limits_{y=0}^{p-1}\left(\dfrac{y(y+2d)}{p}\right)=-1$, где $p>2$ и $(d,p)=1$.
Очевидно, что член, соответствующий $y=0$ можно выбросить.
Для каждого $y\in \{1,2,\dots, p-1\}$ существует единственное $y^{*}$ такое, что $yy^{*}\equiv 1\pmod{p}$. Умножим нашу сумму $L$ на $\left(\dfrac{(y^{*})^2}{p}\right)$ и получаем, что: $$L=\sum \limits_{y=1}^{p-1}\left(\dfrac{yy^{*}(yy^{*}+2dy^{*})}{p}\right)=\sum \limits_{y=1}^{p-1}\left(\dfrac{1+2dy^{*}}{p}\right)=\sum \limits_{y=0}^{p-1}\left(\dfrac{1+2dy^{*}}{p}\right)-\left(\dfrac{1}{p}\right)=-1$$Так как $\{2dy^{*}+1\}$ пробегает всю систему систему вычетов кроме 1

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одной суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение30.08.2014, 14:04 
Заслуженный участник


20/12/10
6564
Да, действительно. Спасибо.

-- Сб авг 30, 2014 18:07:32 --

Whitaker в сообщении #902068 писал(а):
Умножим нашу сумму $L$ на $\left(\dfrac{(y^{*})^2}{p}\right)$
Лучше так: умножим каждое слагаемое нашей суммы на ... Иначе такие, как я, придерутся к Вам на зачёте :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одной суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение30.08.2014, 16:12 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва

(Оффтоп)

Да-да, действительно! :D Было у меня пару раз подобное за время учебы. Но таких ситуаций думаю, что уже не будет ибо сейчас у нас уже закончились математические дисциплины и всякая философия :-) даже грустно...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group