Вычисление якобиана при замене переменных

[ewert]

mishafromusa в сообщении #900540 писал(а):

Но непрерывной дифференцируемости в окрестности данной точки уж точно хватит.

Хватит, но не для метода Ньютона -- для его обоснования нужна как минимум липшицевость производной (во всяком случае, если не извращаться). Техника доказательства существования обратного несколько другая: функция $\big[\vec f'(\vec x_0)\big]^{-1}\big(\vec f(\vec x)-\vec f(\vec x_0)\big)$ отличается от функции $\vec x-\vec x_0$ на сжимающую в силу непрерывности $\vec f'(\vec x)$.

(к сожалению, мне вряд ли удастся доказать это на лекциях -- нет времени; не столько даже на это д-во, сколько на обсасыванние самого принципа сжимающих отображений)

[1r0pb]

Цитата:

1r0pb в сообщении #900441 писал(а):

Хорошо. А если область ограничена линиями $xy=1,\ x+y=5/2,$ то какие будут пределы в новой системе координат? $1\leq v\leq 25/16,\ 2\leq u\leq 5/2\ ?$

Правильно, но на линии $x=y$ якобиан нулевой. А что за интеграл-то надо вычислять? Может попробовать $u=x-y$?

Дело в том, что в указании к задаче написано: положить $u=x+y,\ v=xy.$ А интеграл такой: \iint\limits_{ G } xydxdy.
А, еще $|J|=\frac{1}{\sqrt{{u}^{2}-4v}}.$

[mishafromusa]

ewert в сообщении #900555 писал(а):

Хватит, но не для метода Ньютона

Да, правда, для арктангенса итерации Ньютона для нулевого решения не будут сходится к нулю, а будут убегать на бесконечность. Молодец, ewert, твёрдо стоит за правду.

-- 27.08.2014, 03:26 --

ewert в сообщении #900555 писал(а):

к сожалению, мне вряд ли удастся доказать это на лекциях

Ну почему же, ведь норма разностей двух последовательных итераций сходится к нулю экспоненциально, а поэтому и ряд из этих разностей сходится абсолютно, так что всё просто.

-- 27.08.2014, 03:35 --

1r0pb в сообщении #900574 писал(а):

А, еще $|J|=\frac{1}{\sqrt{{u}^{2}-4v}}.$

Но это не беда, ведь интеграл всё равно будет конечным, и его даже можно будет явно посчитать.

[ewert]

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #900579 писал(а):

Ну почему же, ведь норма разностей двух последовательных итераций сходится к нулю экспоненциально, а поэтому и ряд из этих разностей сходится абсолютно, так что всё просто.

Это только кажется, что просто -- пока не попытаешься прочитать. При всей очевидности идеи на её формализацию всё-таки требуется некоторое время, и это только на базовый вариант; а ещё надо оговорить локальный вариант теоремы (здесь нужен именно он), и ещё достаточное условие сжимаемости, и ещё привести хотя бы один одномерный пример применения... В общем, как минимум поллекции придётся угробить на всё это дело -- непозволительная роскошь, тем более что во всём курсе только для теоремы об обратной/неявной функции оно и нужно. Узнать же его студенты всё равно узнают позже -- в курсе численных методов, а кому повезёт, ещё и в курсе функционального анализа.

-- Ср авг 27, 2014 12:16:38 --

mishafromusa в сообщении #900579 писал(а):

Да, правда, для арктангенса итерации Ньютона для нулевого решения не будут сходится к нулю, а будут убегать на бесконечность.

Это смотря начиная с какого приближения. Проблема не в виде функции, а в том, что в той или иной форме нужна оценка второй производной.

[1r0pb]

mishafromusa это все хорошо, но с наскоку не удается взять после первого интегрирования.

[ewert]

1r0pb в сообщении #900626 писал(а):

с наскоку не удается взять после первого интегрирования.

А зачем Вам вообще понадобилась эта замена? Сказано же Otta -- она противопоказана. В лоб же исходный интеграл по Вашей области берётся очень легко.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #900608 писал(а):

Это смотря начиная с какого приближения.

Для арктангенса -- с любого.

-- 27.08.2014, 04:52 --

ewert в сообщении #900635 писал(а):

В лоб же исходный интеграл по Вашей области берётся очень легко.

И правда!

[ewert]

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #900636 писал(а):

Для арктангенса -- с любого.

Этого просто не может быть в принципе: у арктангенса корень простой и, следовательно, метод Ньютона гарантированно сходится с любого достаточно близкого начального приближения. Если хотите, можете прикинуть, начиная с какого именно (естественно, лишь численно).

[1r0pb]

ewert в сообщении #900635 писал(а):

1r0pb в сообщении #900626 писал(а):

с наскоку не удается взять после первого интегрирования.

А зачем Вам вообще понадобилась эта замена? Сказано же Otta -- она противопоказана. В лоб же исходный интеграл по Вашей области берётся очень легко.

Да я бы сам с радостью, но почему в учебнике такое указание... меня мучает этот вопрос)

[mishafromusa]

ewert в сообщении #900642 писал(а):

Этого просто не может быть в принципе:

Очень даже может, проверьте на компьютере, если не верите. Точки перегиба функции, в которых производная достигает локального максимума -- очень неприятные точки для метода Ньютона, и это видно прямо на картинке.

[ewert]

1r0pb в сообщении #900652 писал(а):

почему в учебнике такое указание... меня мучает этот вопрос)

По небрежности, скорее всего.

Вы бы хоть пределы в новых координатах выписали (они простые, но и не самые приятные).

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #900658 писал(а):

Очень даже может, проверьте на компьютере, если не верите.

Вы явно перепутали метод Ньютона с каким-то другим.

Конкретно для арктангенса: метод Ньютона заведомо сходится при $|x_0|\leqslant1$, расходится при $|x_0|\geqslant\sqrt3$, ну и где-то в промежутке есть критическое значение. Вот для нахождения этого значения действительно нужен компьютер (или хотя бы калькулятор), но -- только для этого.

[1r0pb]

ewert так выписывал уже.)

1r0pb в сообщении #900441 писал(а):

Хорошо. А если область ограничена линиями $xy=1,\ x+y=5/2,$ то какие будут пределы в новой системе координат? $1\leq v\leq 25/16,\ 2\leq u\leq 5/2\ ?$

[ewert]

1r0pb в сообщении #900673 писал(а):

ewert так выписывал уже.)

1r0pb в сообщении #900441 писал(а):

Хорошо. А если область ограничена линиями $xy=1,\ x+y=5/2,$ то какие будут пределы в новой системе координат? $1\leq v\leq 25/16,\ 2\leq u\leq 5/2\ ?$

Так неправильно же. Т.е. если для $u$ правильно, то для $v$ неправильно, и наоборот.

[mishafromusa]

[quote="ewert в сообщении #900608"]Это только кажется, что просто -- пока не попытаешься прочитать. [/quote Ну так нужно не читать, а разбить всё на простенькие задачки, чтоб студенты их решили дома или на практических занятиях, и всё поняли.

[ewert]

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #900693 писал(а):

нужно не читать, а разбить всё на простенькие задачки, чтоб студенты их решили дома или на практических занятиях, и всё поняли.

Это смогут сделать примерно полтора человека, на потоке же их сотня. Они не математики.