2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Форма с параметром
Сообщение15.08.2014, 13:07 
Аватара пользователя


04/06/14
623
Задача: найти такое а для любых натуральных $N$, что $x^2-x+a=p$, где $p$ - простое число, $x=1, 2, ..., N$.
Решение: любое простое число представимо в виде $6K \pm 1$, по условию $a=p_{1}+1\cdot0=p_{2}+2\cdot1=...=p_{N}+N(N-1)$, где $p_{l}$ не обязательно является $l$-ым по счету простым числом. Из первого равенства видно, что $a$ - простое число. $a=6k_{1} \pm 1=6k_{2}\pm 1+2=...=6k_{N}\pm 1+N(N-1)$, так как простое $6k_{1}\pm 1=6k_{N}\pm 1+N(N-1)$ $\Rightarrow $$6(k_{1}-k_{N})=N(N-1)\pm 1\pm 1$, то есть $6m=N(N-1)+2$ или $6m=N(N-1)$ или $6m=N(N-1)-2$, где $m=k_{1}-k_{N}$, но существуют $N$, непредставимые данной формой, значит не существует такого $m$, что для любых натуральных $N$ $6m=N(N-1)+2$ или $6m=N(N-1)$ или $6m=N(N-1)-2$, значит, не существует такого $a$, что для любых натуральных $N$ форма $x^2-x+a$ принимает простые числа для $x=1, ..., N$, т.к. не выполняются одновременно равенства $a=6k_{1}\pm 1=6k_{N}\pm 1+N(N-1)$. Где ошибка? Не могу найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение15.08.2014, 14:15 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maximk в сообщении #896423 писал(а):
Где ошибка?
Вы сначала задачу внятно сформулируйте. Что именно Вы хотите найти: единое $a$ для всех $N$ или же для каждого $N$ своё персональное $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение15.08.2014, 15:37 
Аватара пользователя


04/06/14
623
nnosipov в сообщении #896435 писал(а):
maximk в сообщении #896423 писал(а):
Где ошибка?
Вы сначала задачу внятно сформулируйте. Что именно Вы хотите найти: единое $a$ для всех $N$ или же для каждого $N$ своё персональное $a$.

Да, похоже я не ту задачу решал.
Оригинальная формулировка:
"Доказать, что для каждого натурального числа $N$ существует целое $a$ такое, что $x^2-x+a$ принимает простые значения при $x=1, ..., N$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение15.08.2014, 17:21 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Вот это
maximk в сообщении #896423 писал(а):
то есть $6m=N(N-1)+2$ или $6m=N(N-1)$ или $6m=N(N-1)-2$

равносильно тому, что $N(N-1)$ четно, так что никаких противоречий Вы, естественно, не найдете.

Сама задача выглядит фейковой. Доказанный максимум для многочленов данного вида: $N=40$ при $a=41$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение16.08.2014, 10:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Cash
А можно ссылку на доказательство или его идею вкратце?

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение16.08.2014, 11:11 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
В книге "Математические эссе и развлечения" (М., Мир, 1986, стр. 71) есть такая фраза:

Х. Старк [26] доказал, что не существует формы $x^2 + x + A$ с $A \geqslant 41$, все значения которой были бы простыми для $A-1$ последовательных значений $x$.

[26] Michigan Mathematical Journal, 1967, vol. XIV, pp. 1-27.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение16.08.2014, 12:25 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Ну, это всё ж не совсем та задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение16.08.2014, 12:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Не та, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение16.08.2014, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Я потому и заинтересовался, что утверждение ТС выглядит правдоподобным. Если $a$ достаточно велико, почему бы нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение16.08.2014, 15:54 
Аватара пользователя


04/06/14
623
Cash в сообщении #896481 писал(а):
Вот это
maximk в сообщении #896423 писал(а):
то есть $6m=N(N-1)+2$ или $6m=N(N-1)$ или $6m=N(N-1)-2$

равносильно тому, что $N(N-1)$ четно, так что никаких противоречий Вы, естественно, не найдете.

Сама задача выглядит фейковой.

Эта задача напечатана в книге Бухштаба по теории чисел на предпоследних страницах среди нескольких других, относящихся к теме простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение16.08.2014, 16:50 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Разности между последовательными значениями полинома будут $2i+2, i=1\dots n$. Что-то типа проблемы близнецов, которая, как понимаю, окончательно не решена, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение16.08.2014, 18:14 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
В A005846 приводится следующее:
Цитата:
The link to E. Wegrzynowski contents the following false statement: "It is possible to find a polynomial of the form $n^2 + n + B$ that gives prime numbers for $n = 0 \ldots A, A$ being any number." It is known that the maximum is $A = 39$ for $B = 41$. - Luis Rodriguez (luiroto(AT)yahoo.com), Jun 22 2008

Но покопавшись (правда неглубоко), нигде подтверждения не нашел. Так что возможно фейковое сообщение как раз на OEIS.

(Оффтоп)

В свое оправдание скажу, что причин не доверять этой информации у меня не было. Если бы ТС сразу сообщил, что это одна из открытых проблем по Бухштабу, то я бы подходил к источникам более тщательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение20.08.2014, 10:02 
Аватара пользователя


04/06/14
623
iifat в сообщении #896668 писал(а):
Разности между последовательными значениями полинома будут $2i+2, i=1\dots n$. Что-то типа проблемы близнецов, которая, как понимаю, окончательно не решена, нет?

Читал, что проблема простых-близнецов окончательно решена в положительном смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение20.08.2014, 12:28 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Итан Чжан полтора года назад совершил гигантский прорыв, но окончательного решения еще нет. Применительно к Вашей задаче проблема близнецов отношения не имеет

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма с параметром
Сообщение20.08.2014, 13:38 


26/08/11
2057
Cash в сообщении #897738 писал(а):
Применительно к Вашей задаче проблема близнецов отношения не имеет
Хм. А мне кажется, что решение этой задачи решает проблему с близнецами.

maximk в сообщении #896459 писал(а):
"Доказать, что для каждого натурального числа $N$ существует целое $a$ такое, что $x^2-x+a$ принимает простые значения при $x=1, ..., N$".
Очевидно, что $a>N$ Причем $a$ и $a+2$ простые (при $x=1,x=2$).
Автоматически доказывается бесконечность простых близнецов, т.к. $N$ не ограничено, а $a>N$. Да какие там близнецы, бесконечность простых $a,a+2,a+6\cdots$. Куда сильнее. Или я туплю и не понимаю смысл условия

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group