Кинематика: Как решить задачу?

[ighter]

Задача: Гора образует с горизонтом угол 15°. У подножия горы стоит орудие. Под каким углом к поверхности горы нужно выпустить снаряд, чтобы дальность его полета вдоль склона была максимальна?
Ответ приведенный в учебнике: 37,5°.

Как решал я: Пусть орудие находится в т.О системы координат XOY, $\alpha=15^\circ$ - угол наклона горы, $\beta$ - угол между вектором начальной скорости снаряда и поверхностью горы.
Траектория полета снаряда - парабола, склон - прямая проходящая через т.О. Парабола и прямая пересекаются в двух точка с координатами (0; 0) и $(x_1; y_1)$. Чем больше координата $x_1$, тем больше дальность полета снаряда вдоль склона. Найдем от чего зависит координата $x_1$.
Уравнение траектории снаряда:

$$y=x \cdot \tg(\alpha+\beta)-x^2 \cdot \frac{g}{2v^2_0 \cdot \cos^2(\alpha+\beta)}$$

Уравнение прямой представляющей склон:

$$y=x \cdot \tg(\alpha)$$

В точках пересечения графиков, выполняется равенство:

$$x \cdot \tg(\alpha)=x \cdot \tg(\alpha+\beta)-x^2 \cdot \frac{g}{2v^2_0 \cdot \cos^2(\alpha+\beta)}$$

Из которого находим абсциссы точек пересечения:

$$x=0,~~x=\frac{2v_0^2}{g} \cdot \cos^2(\alpha+\beta)\cdot(\tg(\alpha+\beta)-\tg(\alpha))$$

Т.о.

$$x_1=\frac{2v_0^2}{g} \cdot z(\beta),$$

где

$$z(\beta)=\cos^2(\alpha+\beta)\cdot(\tg(\alpha+\beta)-\tg(\alpha))=\cos^2(15^\circ+\beta)\cdot(\tg(15^\circ+\beta)-\tg(15^\circ))$$

Значит $x_1$ будет иметь максимальное значение (при прочих равных), когда $z(\beta)$ будет иметь максимальное значение, при этом надо учесть, что $0\leq\beta \leq 90^\circ$.
Проанализировать функцию $z(\beta)$ я не в состоянии, поэтому построил ее график и график ее производной в программе. По графику можно определить, что на отрезке от 0 до $\frac{\pi}{2}$, функция имеет максимальное значение при $\beta=0.36\pi=64.8^\circ$, что не соответствует ответу в учебнике.

Правильны ли мои рассуждения и каким еще способом можно решить эту задачу (т.к. по сути я ее не решил т.к. не смог проаналировать функцию $z(\beta)$)?

[Munin]

Формулы все верны, ошибка при построении графиков.

Кстати, график производной в нуле не возрастает, как у вас, а убывает. А график всей функции смещён по горизонтали не вверх, а вниз. Можете смотреть на эти признаки, когда будете искать ошибку.

Программу сами писали? Или скормили какой стандартной?

-- 06.08.2014 20:14:02 --

Кстати, очень советую посчитать всё-таки $z'(\beta)$ аналитически, и найти ответ.

[gris]

Можно расписать тангенсы через синусы и косинусы и сильно упростить выражение. И производная упрощается.

[ighter]

Спасибо за ответ.

Munin в сообщении #893752 писал(а):

Программу сами писали? Или скормили какой стандартной?

-- 06.08.2014 20:14:02 --

Я использовал программу Advanced Grapher. Формулу в нее вроде бы правильно ввел.

Munin в сообщении #893752 писал(а):

Кстати, очень советую посчитать всё-таки $z'(\beta)$ аналитически, и найти ответ.

Спасибо, попробую.

-- 06.08.2014, 19:57 --

С графиками разобрался. Я просто ошибся в формуле. Вот правильный график, и по нему $\beta\approx 0.21\pi=37.8^\circ$. Спасибо Munin.

[Munin]

ighter в сообщении #893759 писал(а):

Я использовал программу Advanced Grapher. Формулу в нее вроде бы правильно ввел.

Я использовал Wolfram Alpha, и формулу ввёл просто ту же, что вы написали, и ей же посчитал производную и её нули. Получилось, как и в ответе в учебнике. А графики непохожие на ваши первоначальные.

[Oleg Zubelevich]

ighter в сообщении #893734 писал(а):

Кинематика: Как решить задач

это не кинематика

[Munin]

Да ладно вам. Почти кинематика.

В физике элементарных частиц "кинематикой" вообще называются соотношения между энергией и импульсом и объёмом фазового пространства в столкновениях.

[DimaM]

ighter в сообщении #893759 писал(а):

Вот правильный график, и по нему $\beta\approx 0.21\pi=37.8^\circ$.

Должно быть именно $37.5^\circ$ (стрелять надо по биссектрисе между склоном горы и вертикалью). Сравнительно недавно уже эту задачу разбирали.
Уравнения получаются проще, если взять угол не со склоном, а с горизонталью.

[Munin]

DimaM в сообщении #893837 писал(а):

стрелять надо по биссектрисе между склоном горы и вертикалью

А можно это как-то просто и наглядно показать?

[DimaM]

Munin в сообщении #893867 писал(а):

А можно это как-то просто и наглядно показать?

Я [пока] не придумал, как сделать это просто и наглядно. Но из формул выходит (по-моему, выходит проще, если оси координат вдоль и поперек склона направить).

[gris]

:неугомонно:
Если чуть-чуть изменить формулу с помощью школьных преобразований синуса суммы, разности тангенсов, то для функции получается выражение $A\sin(\alpha+2\beta)+C$, максимум которой находится без всяких производных. Но кто же помнит эти нудные формулы, да и кинематика уже как бы кончается. Наверное, это изоморфно рассмотрению движения в удобной системе координат. Хотя с помощью точных аналитических решений можно обобщить ответ до предложенной биссектрисы, а можно и попробовать получить решение из других соображений.
Вот интересно, стоит ли вообще при решении задач по физике (учебных) заниматься приукрашиванием чисто математической части или надо основное внимание уделить красивому получению уравнений, которые можно и в пакете каком-нибудь приближённо решить?

[Munin]

gris
Спасибо за совет.

А основное внимание, мне кажется, стоит уделить освоению стандартного пути от условий к ответу. Пусть не приукрашенного, пусть где-то не самого короткого. Но приводящего к ответу. С гарантией. С одной оговоркой: не наделать по дороге ошибок. Ну, ошибки искать - отдельная тема, и для этого вообще нет универсального не вероятностного рецепта.

После того, как стандартный путь освоен, и уже исхожен взад и вперёд, можно искать упрощения, переложения, обобщения и т. п., чем мы тут и занялись. Но для ученика - это всё ненужные излишества. Ему бы попасть из точки $A$ в точку $B,$ а не обязательно - с комфортом и любуясь пейзажем вокруг.

[DimaM]

gris в сообщении #893873 писал(а):

Если чуть-чуть изменить формулу с помощью школьных преобразований синуса суммы, разности тангенсов, то для функции получается выражение $A\sin(\alpha+2\beta)+C$, максимум которой находится без всяких производных. Но кто же помнит эти нудные формулы, да и кинематика уже как бы кончается. Наверное, это изоморфно рассмотрению движения в удобной системе координат. Хотя с помощью точных аналитических решений можно обобщить ответ до предложенной биссектрисы

Так приведенная формула уже явно указывает на биссектрису.

[Munin]

Приведённая gris - да.

[gris]

DimaM, $\Large {O} \hspace{-7} \theta$?

$z(\beta)=\cos^2(\alpha+\beta)\cdot(\tg(\alpha+\beta)-\tg(\alpha))$?