Кинематика: Как решить задачу?

[DimaM]

gris
Я имел в виду вашу формулу.
У меня получилось (путем решения в повернутых осях координат, после отбрасывания постоянных) $2\sin\beta\cos\beta\cos\alpha-2\sin\alpha\sin^2\beta$. Дальше синус и косинус двойного угла и синус суммы, и аккурат $\sin(\alpha+2\beta)+C$ выходит.

[gris]

А мне вот что показалось. Решение $45^{\circ}$ получается как частный случай при горизонтальном, нулевом склоне. То есть мы знаем, что кидать надо по биссектрисе. А что если, приняв это за "постулат", рассмотреть задачу в косоугольных координатах "склон-вертикаль" и сказать (ни с того, ни с сего), что кидать тоже надо по биссектрисе? Ну это так, от жары

[Munin]

Меня пока хватило только на то, чтобы сообразить, что максимальная дальность будет в точке пересечения склона с параболой безопасности. В частности, что угол $\alpha+\beta>45^\circ$ (для $\alpha>0$).

-- 07.08.2014 15:01:49 --

gris в сообщении #893911 писал(а):

А мне вот что показалось. Решение $45^{\circ}$ получается как частный случай при горизонтальном, нулевом склоне. То есть мы знаем, что кидать надо по биссектрисе. А что если, приняв это за "постулат", рассмотреть задачу в косоугольных координатах "склон-вертикаль" и сказать (ни с того, ни с сего), что кидать тоже надо по биссектрисе? Ну это так, от жары :-)

Введём базисные векторы $\mathbf{h}=\mathbf{i}\cos\alpha+\mathbf{j}\sin\alpha,\quad\mathbf{j}=\mathbf{j}.$ В этих векторах

$$\begin{cases}\mathbf{r}=r_h\mathbf{h}+r_j\mathbf{j}\\\dot{\mathbf{r}}=\dot{r}_h\mathbf{h}+\dot{r}_j\mathbf{j}\\\ddot{\mathbf{r}}=\ddot{r}_h\mathbf{h}+\ddot{r}_j\mathbf{j}=-g\mathbf{h}+0\mathbf{j}\\\end{cases}$$

Таким образом, задача сводится к нахождению таких $v_{0h},v_{0j},$ что $\Delta r_h|_{\Delta r_j=0}=\max,$ но... при ограничении на начальную скорость

$$v_0^2=(v_{0h}\mathbf{h}+v_{0j}\mathbf{j})^2=v_{0h}^2+v_{0j}^2+2v_{0h}v_{0j}\sin\alpha=\mathrm{const},$$

что не соответствует ограничению в горизонтальной задаче

$$v_0^2=v_{0x}^2+v_{0y}^2=\mathrm{const}.$$

Придётся анализировать функцию $\Delta r_{h\max}(v_{0x},v_{0y})$ при снятом ограничении. Новое ограничение касается старого в точке максимума старого ограничения, но этого ещё недостаточно. Надо указать, что максимум старого ограничения - 2-го порядка, и касание между ограничениями - тоже 2-го порядка. Тогда, можно считать, что максимум старого ограничения будет и максимумом нового. (Если бы порядок максимума был выше, скажем, 4-го порядка, то это было бы неверно.)

Таким образом, надо ещё установить порядок максимума, а этого пока не сделано :-)