Плотность распределения суммы случайных величин

[k-for]

Найти плотность распределения суммы независимых случайных величин $\xi$ — равномерно распределена в $[0,1]$ и $\eta$ — имеет показательное распределение с параметром $\alpha = 1$, $x \ge 0.$
Пусть $f_\xi(x) = 1$ и $f_\eta(x) = e^{-x}$ — плотности распределения на $[0,1]$, тогда по формуле $f_{\xi+\eta}(x) = \int_0^x f_\xi(x)f_\eta(x-y)dy = … = 1 - e^{-x},$ но $f_\xi(x>1) = 0$, что зануляет весь интеграл.
В ответе$f_{\xi+\eta}(x>1) = e^{-(x-1)} - e^{-x}.$ Что в моих рассуждениях некорректно? Как можно прийти к такому результату?

[Otta]

k-for в сообщении #890929 писал(а):

$f_{\xi+\eta}(x) = \int_0^x f_\xi(x)f_\eta(x-y)dy = … = 1 - e^{-x},$

Вы именно по такой формуле считали или здесь набрали неверно?

[k-for]

По такой. В чём ошибся?

[Otta]

В формуле.

[k-for]

Ага, спасибо. Но желательно конкретнее. Как выглядит корректный вариант?

[Otta]

Не будет ли Вам удобнее посмотреть учебник?

[k-for]

Скверно же вы думаете о соискателе помощи, полагая, что он уже этого не сделал. В том же задачнике Севастьянова & Co на странице 43 даны формулы композиции, одна из которых применена здесь — с той разницей, что интегрирование там по всей вещественной оси. Если пределы интегрирования здесь установлены некорректно, то хотелось бы видеть пояснение, а не только лишь констатацию факта ошибки.

[Otta]

Не надо приписывать мне свои мысли о том, как я о Вас думаю. :)

k-for в сообщении #890939 писал(а):

с той разницей, что интегрирование там по всей вещественной оси

Вот именно. Еще одну разницу найдите. И вообще, напишите именно ту формулу, которая там содержится.

[ИСН]

В правильном ответе действительно приведена функция, интеграл от которой по всей прямой не равен 1?

[k-for]

Цитата:

Не надо приписывать мне свои мысли о том, как я о Вас думаю. :)

Подтекст оборота про мысли апеллирует к вашему тону.

Цитата:

И вообще, напишите именно ту формулу, которая там содержится.

$f_{\xi+\eta}(x) = \int_{-\inf}^{\inf} f_\xi(y)f_\eta(x-y)dy = \int_{-\inf}^{\inf} f_\xi(x-y)f_\eta(y)dy$
При этом мы рассматриваем только неотрицательные x и y.

Цитата:

В правильном ответе действительно приведена функция, интеграл от которой по всей прямой не равен 1?

Да. Задачник Севастьянова 80-го года издания.

UPD: Поправил аргумент для плотности равномерного распределения. Но поскольку она постоянна, на результате это не отразилось.

[Otta]

k-for

(Оффтоп)

Чтобы завершить эту тему, скажу Вам только, что я о Вас не думаю вообще. Ко мне имеет отношение только Ваша задача. И то косвенное. Все остальное - Ваши домыслы.

k-for в сообщении #890946 писал(а):

$f_{\xi+\eta}(x) = \int_{-\inf}^{\inf} f_\xi(x)f_\eta(x-y)dy = \int_{-\inf}^{\inf} f_\xi(x-y)f_\eta(y)dy$
При этом мы рассматриваем только неотрицательные x и y.

Это хорошая формула, только про неотрицательность Вы зря. Вообще говоря, они произвольные.
Ну вот сюда и подставляйте.

Upd Нет, это плохая формула. В первой части.
$\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(y)f_\eta(x-y)dy$
Ага, исправились уже. Вот теперь хорошо.

-- 28.07.2014, 18:14 --

k-for в сообщении #890946 писал(а):

Но поскольку она постоянна, на результате это не отразилось.

Так Вы напишите, как считали, иначе Ваши ошибки трудновато будет найти. Хотя, конечно, я догадываюсь, где Вы ошибаетесь. Но надо же еще, чтобы и Вы это увидели.

[k-for]

Цитата:

про неотрицательность Вы зря. Вообще говоря, они произвольные

Ответ приведён только для неотрицательных аргументов и в условии $x \ge 0.$
Ошибку в пределах интегрирования исправил:
$f_{\xi+\eta}(x) = \int_{-inf}^{inf} f_\xi(y)f_\eta(x-y)dy =$
$= \int_{-inf}^0 f_\xi(y)f_\eta(x-y)dy + \int_0^1 f_\xi(y)f_\eta(x-y)dy + \int_1^{inf} f_\xi(y)f_\eta(x-y)dy =$
$= \int_{-inf}^00dy + \int_0^1 1e^{-(x-y)}dy + \int_1^{inf} 0e^{-(x-y)} = 0 + e^{-(x-1)} - e^{-x} + 0$
Но почему этот результат в ответе относят только к $x \ge 1?$

[Otta]

(Оффтоп)

Бесконечность пишется \infty.

k-for в сообщении #890969 писал(а):

Ответ приведён только для неотрицательных аргументов

Причем тут ответ.

k-for в сообщении #890969 писал(а):

$= \int_{-\infty}^0dy + \int_0^1 1e^{-(x-y)}dy + \int_1^{\infty} 0e^{-(x-y)} = 0 + e^{-(x-1)} - e^{-x} + 0$

Вот на эту строчку смотрим очень внимательно. Вы считаете, что $f_\eta(x-y)=e^{-(x-y)}$ всегда. Почему Вы так считаете?

[k-for]

Потому, что в условии указано, цитирую: $\eta$ имеет показательное распределение с плотностью $e^{-x} (x \ge 0).$

[Otta]

Так, и чему где равна $f_\eta(x-y)$?