Как правильно учить матан?

[PeanoJr]

Посоветуйте пожалуйста, как эффективно читать математическую литературу. Вот,например,математический анализ. Приблизительно составил когда-то (после чтения форума) список учебников,которые актуальны для технических ВУЗов. Их и использую главным образом:

1) Бугров-Никольский
2) Ильин-Позняк
3) Фихтенгольц
4) Кудрявцев (3 тома,не краткий курс)

Читаю я,например, тему: "Понятие ряда" в Кудрявцеве. Кудрявцев числовой ряд определяет как пару последовательностей:элементами которых являются члены ряда и частичные суммы соответственно.
Но меня всегда тянет посмотреть и другие учебники, и тут я читаю,что в остальных учебниках из перечисленных мною даётся другое, более понятное для меня определение ряда.
Или,например, символика Ландау. До сих пор толком ее не понимаю. Вернее, я знаю определения,но не более того. До сих пор не совсем понимаю эквивалентность следующих записей:
$\ sinx=x+o(x)$ при $x\to0$ и в то же самое время можно записать:
$\ sinx=x+o(x^2)$ при $x\to0$...

Сформировалась привычка одну и ту же тему читать сразу в нескольких учебниках. Имеет ли вообще смысл так делать?
Получается,что на одну тему у меня уходит гораздо больше времени,чем если бы я читал только один учебник. А ведь ещё надо решать задачи.
Может стоит просто взять один учебник и в случае проблем с пониманием читать до тех пор,пока не врублюсь? :)

[Shtorm]

PeanoJr в сообщении #890761 писал(а):

Сформировалась привычка одну и ту же тему читать сразу в нескольких учебниках. Имеет ли вообще смысл так делать?

Несомненно имеет смысл. Опыт показывает, что некоторые авторы, образно говоря, "не договаривают" кое-что.

[Henrylee]

Да, есть такое дело. Из-за разных подходов к изложению матем. анализа одни и те же темы совсем друг на друга не похожи. Я бы посоветовал не скакать, выбрать сначала один подход и проработать целый ряд тем, а вот уже после этого читать другие книги и проводить параллели с основной (в смысле основной для Вас, т.е. выбранной ранее) линией. Т.е. как бы один подход должен быть уже в голове. Причем большим куском.
Но это мое мнение. Возможно, от стратегий мышления зависит как лучше, и кто-то посоветует нечто другое.

[PeanoJr]

Henrylee в сообщении #890765 писал(а):

Да, есть такое дело. Из-за разных подходов к изложению матем. анализа одни и те же темы совсем друг на друга не похожи. Я бы посоветовал не скакать, выбрать сначала один подход и проработать целый ряд тем, а вот уже после этого читать другие книги и проводить параллели с основной (в смысле основной для Вас, т.е. выбранной ранее) линией. Т.е. как бы один подход должен быть уже в голове. Причем большим куском.
Но это мое мнение. Возможно, от стратегий мышления зависит как лучше, и кто-то посоветует нечто другое.

Какой из вышеперечисленных учебников Вы бы посоветовали в качестве основного, на котором можно остановиться? Желательно такой, в котором изложение ведется самым стандартным образом.

[Munin]

(Оффтоп)

PeanoJr в сообщении #890761 писал(а):

До сих пор не совсем понимаю эквивалентность следующих записей:
$\sin x=x+o(x)$ при $x\to0$ и в то же самое время можно записать:
$\sin x=x+o(x^2)$ при $x\to0$...

Эти две записи не эквивалентны. Просто синус - такая функция, которая в ряде Тейлора имеет 1-й и 3-й члены, и не имеет 2-го. Поэтому остаточный член - порядка $x^3$ - одновременно является малым и по сравнению с $x,$ и по сравнению с $x^2.$

Вот если разлагать не синус, а, скажем, $e^x-1,$ то будет ясно видно, что
$e^x-1=x+o(x)$
записать можно, а
$e^x-1=x+o(x^2)$
записать нельзя.

Вообще, "о малое" можно воспринимать как отношение "строго меньше, чем", а "О большое" - как "нестрого меньше, чем". Их роль именно такова.

PeanoJr в сообщении #890761 писал(а):

Получается,что на одну тему у меня уходит гораздо больше времени,чем если бы я читал только один учебник.

Это не плохо. Зато у вас получаются более глубокие и прочные знания.

Мой личный совет при чтении любой физической и математической литературы: не торопиться, а тщательно прорабатывать текст, чтобы он был полностью понятен. Там, где есть выкладки и доказательства - самостоятельно повторить эти выкладки и рассуждения. Так вы проверите, всё ли в них ясно. Там, где есть определения, вводятся новые понятия и объекты, - остановиться, придумать конкретные примеры, подумать над их свойствами. Попробовать придумать задачу, и решить её, пусть даже самую простую, но помогающую ощутить новый объект.

Раз уж вы читаете несколько учебников, появляется новый способ развлечения: сопоставлять определения из разных источников, и убеждаться (в крайнем случае - тщательно доказывать), что они описывают одно и то же. Или иногда выясняется, что не совсем одно и то же. Тогда надо выделить важные нюансы, и дальше обращать на них внимание при чтении. Где-то они сыграют роль, а где-то - нет.

[Aritaborian]

PeanoJr в сообщении #890761 писал(а):

3) Фихтенгольц

Пора бы уже, наконец, окончательно похоронить Григория Михайловича Фихтенгольца и его учебники.

[PeanoJr]

Munin в сообщении #890773 писал(а):

Эти две записи не эквивалентны. Просто синус - такая функция, которая в ряде Тейлора имеет 1-й и 3-й члены, и не имеет 2-го. Поэтому остаточный член - порядка $x^3$ - одновременно является малым и по сравнению с $x,$ и по сравнению с $x^2.$

Вот если разлагать не синус, а, скажем, $e^x-1,$ то будет ясно видно, что
$e^x-1=x+o(x)$
записать можно, а
$e^x-1=x+o(x^2)$
записать нельзя.

Вообще, "о малое" можно воспринимать как отношение "строго меньше, чем", а "О большое" - как "нестрого меньше, чем". Их роль именно такова.

Если можно,на примере:
$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4) $
Как я понимаю эту запись: выражение $o(x^4)$ - некое слагаемое, частное от деления которого на $x^4$ в окрестности нуля стремится к нулю.
Если записать это через O-большое:
$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5) $
$O(x^5)$ означает, некое слагаемое, которое в окрестности нуля, ограничено сверху $x^5$
Правильно ли я понимаю?

Munin в сообщении #890773 писал(а):

Мой личный совет при чтении любой физической и математической литературы: не торопиться, а тщательно прорабатывать текст, чтобы он был полностью понятен. Там, где есть выкладки и доказательства - самостоятельно повторить эти выкладки и рассуждения. Так вы проверите, всё ли в них ясно. Там, где есть определения, вводятся новые понятия и объекты, - остановиться, придумать конкретные примеры, подумать над их свойствами. Попробовать придумать задачу, и решить её, пусть даже самую простую, но помогающую ощутить новый объект.

Обычно стараюсь так и делать, иначе плохо понимаю. Бывало,конечно,просто запоминать какие-нибудь теоремы или формулы для семинаров, но потом все равно приходится разбираться в доказательстве для осознанности.

[Munin]

(Оффтоп)

PeanoJr в сообщении #890792 писал(а):

Если можно,на примере:
$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4) $
Как я понимаю эту запись: выражение $o(x^4)$ - некое слагаемое, частное от деления которого на $x^4$ в окрестности нуля стремится к нулю.

Да.

PeanoJr в сообщении #890792 писал(а):

Если записать это через O-большое:
$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5) $
$O(x^5)$ означает, некое слагаемое, которое в окрестности нуля, ограничено сверху $x^5$

$O(x^5)$ примерно означает, что нельзя записать $o(x^5),$ но при этом можно записать $o(x^{5-\varepsilon})$ для сколь угодно малого положительного $\varepsilon.$ Более точно, если не ошибаюсь, можно записать $o\bigl(\tfrac{x^5}{f(x)}\bigr),$ где $f(x)$ - произвольная стремящаяся к нулю функция.

При этом, $O(x^5)$ не ограничено сверху $x^5.$ Этот член может иметь вид, скажем, $20x^5$ - это заведомо больше, чем $x^5.$ Или, он может иметь вид $x^5+x^6.$ И тому подобное. Но, там заведомо не может быть $x^4.$ И даже $x^5\ln x.$

Но это всё офтопик. Лучше было бы завести отдельную тему, с более говорящим названием, посвящённому этим вещам. Глядишь, и отвечать бы вам пришли люди, более разбирающиеся, чем я.

[Dmitry Tkachenko]

Aritaborian в сообщении #890777 писал(а):

Пора бы уже, наконец, окончательно похоронить Григория Михайловича Фихтенгольца и его учебники.

А какой бы Вы посоветовали учебник на замену? Я поддерживаю с какой-то стороны такую мысль, может даже с большей стороны... Но меня смущает то, что некоторых тем в других пособиях и не встретишь, например, квазиравномерную сходимость, но, возможно, я ошибаюсь.

[sng1]

Зорич вроде неплохой.

[PeanoJr]

Munin
Спасибо! Теперь,кажется, понял.
sng1
Я,видимо,тупой,но для меня Зорич - вынос мозга)

[nnosipov]

PeanoJr, если Зорич не идёт, читайте Кудрявцева, только не 3-томник, а издание начала 1980-х в 2-х томах.

[PeanoJr]

nnosipov в сообщении #890865 писал(а):

PeanoJr, если Зорич не идёт, читайте Кудрявцева, только не 3-томник, а издание начала 1980-х в 2-х томах.

Сейчас скачаю.
А Бугров-Никольский,Ильин-Позняк не подойдут?

[nnosipov]

Да они все в той или иной мере годятся. По моим представлениям, Бугров-Никольский,Ильин-Позняк --- это что-то между Кудрявцевым и Зоричем. Предпочтительнее, конечно, современный курс типа Зорича, но для начала можно взять что-нибудь попроще. А потом, как говорится, аппетит приходит во время еды ...

[ex-math]

Aritaborian
Зачем хоронить? Если не подходит математикам, то чем он плох для технарей?
Я уж не говорю о том, что в старых учебниках встречается кое-что, чего не найдешь в новых, так что их ценность нельзя преуменьшать.

Для ТС: надо учить по одному учебнику сначала, иначе запутаетесь. Освоив раздел, можете смотреть другие учебники. И не увлекайтесь излишним формализмом, типа "ряд -- это пара последовательностей", главное -- получить правильные интуитивные представления об изучаемых объектах, почувствовать их. А то выйдет не матан, а игра в символы, понять не поймете, да еще и возненавидите до конца жизни.