2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Виды математических доказательств
Сообщение07.08.2007, 06:08 
Помогите, пожалуйста, разобраться, какими бывают математические доказательства. Я могу вспомнить только конструктивные доказательства и доказательства "от противного".
В каких книгах можно прочитать об этом?

 
 
 
 
Сообщение07.08.2007, 09:36 
Аватара пользователя
Certain писал(а):
Я могу вспомнить только конструктивные доказательства и доказательства "от противного".
Вот пример доказательства "третьего типа": докажем, что есть иррациональные числа. Итак, действительных чисел - континуум, а рациональных - счётное множество. Значит, иррациональные числа есть! При этом в доказательстве не построено ни одного объекта и нет слов: "предположим противное" :shock:

 
 
 
 
Сообщение07.08.2007, 11:48 
Brukvalub писал(а):
При этом в доказательстве не построено ни одного объекта и нет слов: "предположим противное"
Точно? А если все развернуть? Ведь типичное доказательство несчетности множества действительных чисел обычно начинается со слов "предположим противное".
Или развертывать нечестно? Может, тогда и мне стоит разобраться?

 
 
 
 
Сообщение07.08.2007, 15:33 
Аватара пользователя
AD писал(а):
Точно? А если все развернуть? Ведь типичное доказательство несчетности множества действительных чисел обычно начинается со слов "предположим противное".
Я не вел речь о доказательстве несчётности множества действительных чисел. Если уж начинать "от печки", то сначала хорошо бы построить модель действительных чисел, где вылезет конструктивная часть теории, а потом рассуждать об этих числах и т.д. Речь шла о фрагменте большой теории, так сказать, о маленькой теоремке, и доказательство существования вещественных чисел, или их несчётности - это уже предыдущие к этой теоремке части теории.

 
 
 
 
Сообщение08.08.2007, 01:49 
Brukvalub
Как Вы можете охарактеризовать доказательства такого типа? Для того чтобы систематически их использовать, надо понять общую идею таких доказательств.

Всем
И всё-таки по поводу книжек. Где можно прочитать об этом, чтобы не изобретать велосипед?

 
 
 
 
Сообщение08.08.2007, 07:53 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
Как Вы можете охарактеризовать доказательства такого типа?
В этом доказательстве существование объекта доказывается не его предъявлением, а тем, что множество "не таких" объектов образует во множестве всех объектов заведомо меньшее подмножество (замечу, что есть и другие способы "измерения" множеств - по мере, по категории и т.п., поэтому можно попробовать строить аналогичные доказательства и для других случаев). Более того, думаю, что есть еще несколько типов доказательств, которые также достойны упоминания. Например, доказательства, основанные на методе математической индукции (так обычно доказывают справедливость неравенства Бернулли или бинома Ньютона). Если порыться в огромном математическом багаже, то найдутся примеры и других схем доказательства. По поводу книжек - долго я над поиском книг не думал, но это должно быть нечто философски -методически -обобщающее :D. Вспомнилось, что в юношестве я читал вот такую забавную книжку: Пойа Дж. — Математика и правдоподобные рассуждения. Это, конечно, не совсем требуемое Вами, но, по общему направлению мысли - похоже. Пока большим помочь Вам не удаётся. :cry:

 
 
 
 
Сообщение09.08.2007, 05:02 
Спасибо, книги Пойа у меня есть, никак не соберусь прочитать. :)
А метод матиндукции нельзя ли рассматривать как один из вариантов конструктивных доказательств?

 
 
 
 
Сообщение09.08.2007, 08:36 
Аватара пользователя
Существует метод доказательств, весьма близкий по духу к примеру Brukvalub-а, который называется методом случайного кодирования. Он активно используется в теории кодирования для получения теоретических оценок на параметры оптимальных кодов, а также более общо - в комбинаторике для оценок на параметры некоторых оптимальных комбинаторных объектов.

Суть в том, что мы задаем некоторый ансамбль объектов, среди которых могут быть как "хорошие", так и "плохие". На этом ансамбле задается определенным образом вероятность. Далее иногда удается оценить сверху вероятность того, что случайно взятый объект из ансамбля будет плохим. Если эта оценка меньше 1, то это доказывает, что существует положительная вероятность получить также и хороший объект, откуда вытекает, что хорошие объекты в данном ансамбле существуют.

Если каждому объекту приписывается одинаковая вероятность, то это равносильно тому, что мы оцениваем сверху количество плохих объектов и показываем, что эта оценка меньше объема всего ансамбля. Но иногда оказывается, что если ввести вероятность более хитрым образом, то результаты получатся лучше.

Еще небольшим обобщением метода является вариант, при котором мы не сразу строим "хорошие" объекты, но рассматриваем некоторое достаточное условие, при выполнении которого из объекта можно получить хороший некоторыми действиями. При этом результаты часто получаются еще лучше.

 
 
 
 
Сообщение09.08.2007, 12:21 
Это интересно, я раньше не сталкивался с таким применением теории вероятностей. А нельзя ли рассматривать такой метод доказательства, как некое обобщение метода "от противного"? В одном случае рассматриваются несовместные события, в другом - совместные.

 
 
 
 
Сообщение09.08.2007, 13:23 
Аватара пользователя
Может быть и можно, не знаю, я этого не очень чувствую.

Ну и теория вероятностей в том методе, который я описал, весьма простая, скорее на уровне комбинаторных рассуждений.
Там всюду речь идет о конечных множествах.

 
 
 
 
Сообщение09.08.2007, 23:40 
Здравствуйте! У меня тоже вопрос про доказательства. Как строятся доказательства теорем в курсе вузовской математики. Они являются универсальными для любого учебника, или могут зависеть от автора книги? И второе: теорем в математике очень много, и помнить доказательства всех теорем очень сложно(это моё мнение).Теоремы я помню, а доказательства быстро забываются. Как удаётся математикам помнить их все( допустим преподавателям) или может быть существует какой-то план построения доказательства, который применим для доказательства любого утверждения(теоремы)?

 
 
 
 
Сообщение10.08.2007, 00:28 
Аватара пользователя
:evil:
Andrey_SR писал(а):
Они являются универсальными для любого учебника, или могут зависеть от автора книги?

Зависят от автора (учебника). Обычное дело, когда студент начинает мешать учебники, и получает кольцо в доказательствах.

Andrey_SR писал(а):
Как удаётся математикам помнить их все( допустим преподавателям) или может быть существует какой-то план построения доказательства

Ну, во-первых, все не помнят. Во-вторых, есть профессиональная память, такая, как у музыкантов, шахматистов. В-третьих, помнят схемы доказательств, дорабатывая детали по мере надобности.

 
 
 
 
Сообщение10.08.2007, 02:13 
Andrey_SR писал(а):
Как удаётся математикам помнить их все( допустим преподавателям)

Молодые преподаватели (вроде меня :)) решают эту проблему подготовкой к каждому занятию.

 
 
 
 
Сообщение10.08.2007, 17:33 
Хорошо. А план существует построения доказательства или это полностью творческий процесс, зависящий от умения человека строить доказательства?

 
 
 
 
Сообщение10.08.2007, 18:11 
Аватара пользователя
:evil:
Andrey_SR писал(а):
А план существует построения доказательства или это полностью творческий процесс, зависящий от умения человека строить доказательства?

Настолько творческий, что на доказательство теоремы Ферма ушло четыре века…

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group