Бросаем монетку

[Побережный Александр]

Требуется вычислить и сравнить вероятности в двух случаях.
1. Какова вероятность того, что вторым броском выпадет решка, при условии выпадения орла в первом броске.
2. Какова вероятность того, что при пятом броске выпадет решка, при условии, что в первом броске выпала решка, затем три последующих броска выпадал орел.

Предлагаемое решение.
Многократное бросание монетки - это повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
Соответственно, работает формула Бернулли $P_n(m)=C_n^mp^m(1-p)^{n-m}$.
В задаче, по первоначальной информации, известно, что произошло $n$ бросков и выпало $k$ решек. Бросание k+1 раз монетки определяет два возможных испытания, вероятности которых можно вычислить по формуле Бернулли. Другими словами, надо вычислить $P_{n+1}(k+1)$ и $P_{n+1}(k)$.
Если нас интересует, появление какого испытания из двух возможных наиболее вероятно, то вычисляем:
$P_1=\frac{P_{n+1}(k+1)}{P_{n+1}(k+1)+P_{n+1}(k)}$ и $P_2=\frac{P_{n+1}(k)}{P_{n+1}(k+1)+P_{n+1}(k)}$

Поскольку нас в задаче интересует появление решки, то вычислим $P_1$.
$P_1=\frac{P_{n+1}(k+1)}{P_{n+1}(k+1)+P_{n+1}(k)}=\frac1{1+\frac{P_{n+1}(k)}{P_{n+1}(k+1)}}=\frac1{1+\frac{C_{n+1}(k)(1-p)}{C_{n+1}(k+1)p}}=\frac1{1+\frac{(k+1)(1-p)}{(n+1-k)p}}$

Окончательный ответ: $P_1=\frac{(n+1-k)p}{np-2kp+k+1}$

Применим полученную формулу к задаче.
1. $n=1, k=0, p=0.5$. Следовательно, $P_1=\frac23$
2. $n=4, k=1, p=0.5$. Следовательно, $P_1=\frac23$
Вывод: появление решки и в первом и во втором случае равновероятно и вероятность ее появления равна $\frac23$.
Аналогичные рассуждения можно применять, если испытания поводить с кубиком. Общая формула останется прежней, но в вычислениях $p=\frac16$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: несоответствующий раздел, не приведены попытки решения

Побережный Александр
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.
(возможно, в условии следовало в скобках указать, что неизвестно, что монета симметричная)

[Евгений Машеров]

Симметричность автором указана: $p=0.5$
А парадокс возникает, ИМХО, оттого, что автор путает "$(n+1)$ бросание дало решку, при том, что из предыдущих $n$ было $k$ решек" и "в $(n+1)$ бросании было $(k+1)$ решек"

[Побережный Александр]

Уважаемый, Евгений Машеров, я как раз отличаю эти два случая. В первом варианте, указанном вами, это последовательное бросание монетки. При последнем броске уже известны результаты предыдущих бросков. Можно сказать, что это некоторая история испытания. Во втором варианте рассматривается одновременное бросание $(n+1)$ монеты. Естественно, о предыстории говорить невозможно.
Рассмотрим аналогичный вариант с кубиками.
Бросая одновременно три кубика, вероятность выпадения трех "шестерок" равна $\frac1{216}$.
Если теперь делать последовательно три броска, то пока не выпадут первые две "шестерки" мы просто игнорируем такие броски, так как они не попадают в категорию нашего испытания. А вот только появятся две "шестерки", то только теперь по моей формуле можно прогнозировать вероятность появления третьей "шестерки".
В этом случае $ n=2, k=2, p=\frac16$. Соответственно, вероятность выпадения третьей "шестерки" после подряд идущих двух "шестерок" равна $P_1=\frac1{16}$.

[Otta]

А какова вероятность выпадения третьей шестерки после двух первых пятерок?

[Lukum]

Побережный Александр
Мы же с вами рабзирались в теме "Бросаем кубик" примерно год назад
topic75591.html

[Евгений Машеров]

Кому - известно? Если монетке, то это существенно. А если монетка не существо/устройство, наделённое если не сознанием, то некоторой памятью, то никакого значения знание предыстории не имеет. Как была вероятность 1/2, так и осталась.

[Побережный Александр]

Otta в сообщении #890848 писал(а):

А какова вероятность выпадения третьей шестерки после двух первых пятерок?

Подставляем в формулу $n=2, k=0, p=\frac16$. Получаем $P_1=\frac38$.

Lukum в сообщении #890855 писал(а):

Побережный Александр
Мы же с вами разбирались в теме "Бросаем кубик" примерно год назад
topic75591.html

Уважаемый Lukum, сейчас я привел свой окончательный результат своих рассуждений, в том числе обсуждаемых и в указанной ветке. Получившуюся формулу реально можно использовать и запрограммировать.

[Otta]

Ага. После двух пятерок $3/8$, после двух шестерок $1/16$. Кубик помнит, что на нем падало?

[Евгений Машеров]

Тупо выписываем исходы, не удовлетворяющие условию зачёркиваем.
I
ОО
ОР
РО
РР
При условии выпадения орла в первом броске ровно в половине случае выпадает орёл во втором.
II
ООООО
ООООР
ОООРО
ОООРР
ООРОО
ООРОР
ООРРО
ООРРР
ОРООО
ОРООР
ОРОРО
ОРОРР
ОРРОО
ОРРОР
ОРРРО
ОРРРР
РОООО
РОООР
РООРО
РООРР
РОРОО
РОРОР
РОРРО
РОРРР
РРООО
РРООР
РРОРО
РРОРР
РРРОО
РРРОР
ОРРРО
ОРРРР

И опять ровно половина...
Может, можно в этом убедиться, переведя меньше бумаги (ну, или места на экране)?

[Побережный Александр]

Евгений Машеров в сообщении #890880 писал(а):

Кому - известно? Если монетке, то это существенно. А если монетка не существо/устройство, наделённое если не сознанием, то некоторой памятью, то никакого значения знание предыстории не имеет. Как была вероятность 1/2, так и осталась.

Монетка как выпадала с вероятностью $ 0.5$, так выпадает. Мы работаем в пространстве испытаний схемы Бернулли. Нам не надо рассматривать все испытания в которых было $n+1$ бросок монеты. При $n$ бросках, которые уже произошли можно конкретно сказать сколько выпало решек. При последнем броске остается всего два варианта. Все другие просто невозможны.
Ведь можно поставить и такую задачу: было n бросков, выпало k решек. Какая вероятность того, что в следующих трех бросках выпадет три решки. Здесь я применял бы аналогичные рассуждения.

[ИСН]

Побережный Александр в сообщении #890884 писал(а):

Монетка как выпадала с вероятностью $ 0.5$, так выпадает.

Ну да, разумеется; а что и зачем Вы ищете в первом посте?

[Lukum]

Думаю, затруднения ТС заключаются в следующем. Он считает, что если получилось так, что часто выпадали решки, то далее чаще должны выпадать орлы по причине того, что в среднем орлы и решки должны выпадать поровну, т.к. монета симметричная, правильная.

[ИСН]

Похоже на то. Я ему уже предлагал разные варианты доведения до абсурда; ещё предложить, что ли? Возьмём очень много монет и кинем их по три раза; те, что выдали три орла, сложим в левую чашку, которые выдали три решки - в правую, а остальные вернём откуда взяли. Чашки поставим на поднос и немного покрутим его, закрыв глаза. Сможем ли мы теперь определить, где какая чашка?

[Побережный Александр]

Постановка задачи не в определении вероятности, какой стороной упадет монетка, а в определении вероятности появления $k+1$ решки в $n+1$ броске или $k$ решек в $n+1$ броске. Сама монетка и укажет какое испытание в схеме Бернулли наступило. Еще раз напоминаю, рассматривается пространство событий по схеме Бернулли. Этих событий бесконечно много, поэтому Евгений Машеров привел не корректный пример. Правда на мой взгляд. )