Площадь фигуры, покрывающей кривую

[Dima S]

Неожиданно в памяти всплыла задача, о которой поведал давно в школе учитель по геометрии.
Из числа тех, условие которых запоминается мгновенно и на всю жизнь.

Кусочек нити длиной 1 бросили на плоскость. Какова площадь фиксированной плоской геометрической фигуры, которая накроет эту нить, как бы ту не бросили?
Если это влияет на ответ, то нить лежит без пересечений.

Размышляя, я понял, что даже не знаю ответов на вопросы:
1. Является ли покрывающая геометрическая фигура выпуклой?
2. Является ли покрывающая геометрическая фигура односвязной?
Учитель говорил, что это известная задача.
Где можно о ней почитать?

[Nemiroff]

Похоже
topic52195.html
В качестве дополнения
http://mathoverflow.net/questions/32477 ... ngth-curve

[Dima S]

Nemiroff
Спасибо за ссылки. Они напомнили мне третий вопрос, который я в первом сообщении не упомянул:
3. Существует ли такая покрывающая геометрическая фигура?

[ИСН]

Что существует - это тривиально: круг диаметром 1. А дальше там всё как-то очень криво и некрасиво.

[Dima S]

ИСН в сообщении #878617 писал(а):

Что существует - это тривиально: круг диаметром 1. А дальше там всё как-то очень криво и некрасиво.

Да, кажется, я нигде не упомянул, что необходимо найти площадь самой маленькой по площади из фигур, удовлетворяющих условию.
Соответственно вопрос - существует ли такая самая маленькая фигура?

[ИСН]

Да, вопрос.