2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Чемодан для кривых
Сообщение10.12.2011, 01:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
В сущности, это нужно не сюда, а в "Придумывание задач", но такого форума нету, так что слушайте. Мне представилась выпуклая фигура минимальной площади, в которую можно уложить любую гладкую кривую длины 1. Есть у этого смысл или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чемодан для кривых
Сообщение10.12.2011, 12:33 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Смысл есть,потому что,например,должны выполняться неравенства:$\dfrac 1{4\pi }\leq S_{min}\leq \dfrac 14+\dfrac {\pi }{16}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чемодан для кривых
Сообщение10.12.2011, 14:53 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
mihiv в сообщении #513862 писал(а):
Смысл есть,потому что,например,должны выполняться неравенства:$\dfrac 1{4\pi }\leq S_{min}\leq \dfrac 14+\dfrac {\pi }{16}$.

Как вы получили верхнюю оценку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чемодан для кривых
Сообщение10.12.2011, 17:01 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
ИСН в сообщении #513793 писал(а):
Есть у этого смысл или нет?

mihiv в сообщении #513862 писал(а):
Смысл есть,потому что,например

Однако, может оказаться так, что для всякой фигуры $S$, являющейся чемоданом, будет существовать чемодан, меньший по площади. Тогда предел площади будет существовать, а искомый чемодан - нет :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Чемодан для кривых
Сообщение10.12.2011, 17:58 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
По всей видимости фигура составленная равнобедреннем треугольником $A=(-\frac 12,0), B=(0,\frac 12),O=(0,0)$ и четвертью круга с центром в О с дугой BC, $C=(\frac 12,0)$ является чемоданом с минимальной площадью $S_{min}=\frac{1}{8}+\frac{\pi}{16}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Чемодан для кривых
Сообщение12.12.2011, 16:51 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Очевидно,что кривая длины $l$ накрывается окружностью радиуса $\dfrac l2$.Поэтому две половины кривой длины 1,накрываются двумя окружностями радиусов $\dfrac 14$.Эти окружности перекрываются или в крайнем случае касаются.Чтобы фигура была выпуклой проведем две касательные к окружностям.Полученная фигура имеет наибольшую площадь,когда окружности касаются.Отсюда получаем верхнюю оценку $S_{min}<\dfrac 14+\dfrac {\pi }{16}$.
Как существенно улучшить эту оценку,например,до той,которую привел Руст,неясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чемодан для кривых
Сообщение24.12.2011, 07:30 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Что-то вы перебрали со сложностью.
http://en.wikipedia.org/wiki/Moser%27s_worm_problem
http://arxiv.org/abs/math/0701391

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group