1. Если первое уравнение имеет решение в натуральных числах, то второе не имеет.
Подобное доказательство хорошо работает, если пойти от обратного. Рассмотрим пару натуральных
и
. Могут ли оба этих числа оказаться в синей зоне? Если да, то существует пара
таких, что
, откуда
. Из неравенства
видно, что
и тем более
, но это противоречит предыдущему: при простых
должно быть как минимум
. Следовательно,
- зеленое, и существуют
и
, для которых верно
Из неравенств
следует
, откуда
. Все четыре числа суть основания квадратов, сравнимых по
(штрих - означает: противоположной четности). Тем самым доказаны два первых утверждения.
Решение первоначальной системы в общем виде можно записать так:
где
- некоторое число подходящей величины и четности. Количество решений в прогрессии, заданной парой
не зависит от
:
а количество прогрессий соответствует количеству различных пар
в зеленой зоне:
.
Суммируя, меняем
на
,
- на
(полусумма вз. простых, не преышающих модуля), единицу - на
.
Предположительно
, но формула получена на ощупь. Как это доказать - мне не известно.
решение первого уравнения с наименьшим положительным 
Тогда аналогичные рассуждения можно провести для наименьшего неотрицательного 
. А если и 
являются решениями, то 
Вообще наличие решения когда одна из переменных равна нулю можно рассмотреть отдельно
- сумма вз. простых, не превосходящих модуля, но я из этого и исходил. А вот 
, запишем для наглядности все числа до 
в таблицу 
и, вычеркнув столбец с кратными семи, покрасим кратные одиннадцати.
симметрична относительно центра таблицы (меняются местами при повороте на 
), то же и "фигуры", выделенные цветами. Поэтому одно из слагаемых всегда окажется в синей зоне, а другое - в зеленой. Таким образом задача сводится к нахождению зеленой и синей сумм или разности между ними, поскольку общая сумма известна.